Страница 49 номер 5.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Среди векторов \(\vec{a}(1; 1; 2)\), \(\vec{b}(1; 2; 1)\) и \(\vec{c}(-5; 3; 1)\) укажите пару перпендикулярных векторов.
Векторы \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\) ненулевые: у каждого из них есть отличная от нуля координата. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. \[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 5; \\ \vec{a} \cdot \vec{c} &= 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0; \\ \vec{b} \cdot \vec{c} &= 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 2. \end{aligned}\]
Нулю равно только скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), поэтому перпендикулярны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), как и векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), не перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).
Среди векторов \(\vec{a}(1; 1; 2)\), \(\vec{b}(1; 2; 1)\) и \(\vec{c}(-5; 3; 1)\) укажите пару перпендикулярных векторов.
Векторы \(\vec{a}(1; 1; 2)\), \(\vec{b}(1; 2; 1)\) и \(\vec{c}(-5; 3; 1)\) ненулевые: у каждого из них есть отличная от нуля координата. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Найдём попарные скалярные произведения данных векторов как суммы произведений их соответствующих координат: \[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 5; \\ \vec{a} \cdot \vec{c} &= 1 \cdot (-5) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0; \\ \vec{b} \cdot \vec{c} &= 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 2. \end{aligned}\]
Нулю равно только скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), поэтому перпендикулярны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\), а векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), как и векторы \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), не перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\).
