Страница 12 номер 1.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки \(A(-1; 2; 4)\) и плоскости \(yz\).
Пусть \(K\) — искомая точка. Она принадлежит оси абсцисс, поэтому её ордината и аппликата равны нулю: \(K(x; 0; 0)\). Ось абсцисс перпендикулярна осям ординат и аппликат — двум пересекающимся прямым плоскости \(yz\), поэтому она перпендикулярна плоскости \(yz\) и пересекает её в начале координат \(O\). Значит, расстояние от точки \(K\) до плоскости \(yz\) равно \(KO = |x|\). \[KA^2 = (-1 - x)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = (x + 1)^2 + 20.\] Точка \(K\) равноудалена от точки \(A\) и плоскости \(yz\), поэтому \(KA = KO\) и \(KA^2 = x^2\): \[\begin{aligned} (x + 1)^2 + 20 &= x^2; \\ x^2 + 2x + 1 + 20 &= x^2; \\ 2x &= -21; \qquad | : 2 \\ x &= -10{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(K(-10{,}5; 0; 0)\).
Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от точки \(A(-1; 2; 4)\) и плоскости \(yz\).
Пусть \(K\) — искомая точка. Она принадлежит оси абсцисс, поэтому её ордината и аппликата равны нулю: \(K(x; 0; 0)\). Ось абсцисс перпендикулярна осям ординат и аппликат — двум пересекающимся прямым плоскости \(yz\), поэтому она перпендикулярна плоскости \(yz\) и пересекает её в начале координат \(O\). Значит, расстояние от точки \(K\) до плоскости \(yz\) равно \(KO = |x|\). Из формулы расстояния между двумя точками \[KA^2 = (-1 - x)^2 + (2 - 0)^2 + (4 - 0)^2 = (x + 1)^2 + 20.\] Точка \(K\) равноудалена от точки \(A\) и плоскости \(yz\), поэтому \(KA = KO\) и \(KA^2 = x^2\): \[\begin{aligned} (x + 1)^2 + 20 &= x^2; \\ x^2 + 2x + 1 + 20 &= x^2; \\ 2x &= -21; \qquad | : 2 \\ x &= -10{,}5. \end{aligned}\]
Ответ: \(K(-10{,}5; 0; 0)\).
