Страница 134 номер 14.15, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — правильный тетраэдр
\(AB = a\)

Найти: \(R\) — радиус описанного шара.

Решение: Все рёбра правильного тетраэдра равны \(a\), а его грани — правильные треугольники, поэтому \(DABC\) — правильная треугольная пирамида с основанием \(ABC\), каждое боковое ребро которой равно \(a\). Пусть \(DO_1\) — её высота; основание \(O_1\) высоты — центр правильного треугольника \(ABC\), то есть центр описанной около него окружности, и \(O_1A = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Центр \(O\) описанного шара принадлежит прямой, содержащей высоту правильной пирамиды, — прямой \(DO_1\); \(OD = OA = R\).

Высота \(DO_1\) перпендикулярна плоскости основания, поэтому треугольник \(DO_1A\) прямоугольный: \(DO_1 = \sqrt{DA^2 - O_1A^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}\).

Плоскость \(DO_1A\) проходит через центр \(O\) и пересекает шар по большому кругу; вершины \(D\) и \(A\) лежат на окружности этого круга.

Радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды, каждое боковое ребро которой равно \(b\), а высота равна \(h\), равен \(\frac{b^2}{2h}\). Здесь \(b = a\), \(h = DO_1 = \frac{a\sqrt{6}}{3}\):

\[R = \frac{a^2}{2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}} = \frac{3a}{2\sqrt{6}} = \frac{3a\sqrt{6}}{12} = \frac{a\sqrt{6}}{4}.\]

Ответ: \(\frac{a\sqrt{6}}{4}\).