Страница 135 номер 14.17, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что если боковые рёбра пирамиды равны, то около неё можно описать сферу, причём центр этой сферы принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.
Пусть \(SA_1A_2 \ldots A_n\) — пирамида с равными боковыми рёбрами \(SA_1 = SA_2 = \ldots = SA_n\), \(SO_1\) — её высота. Боковые рёбра — равные наклонные, проведённые из точки \(S\) к плоскости основания, а \(O_1A_1\), \(O_1A_2\), \(\ldots\), \(O_1A_n\) — их проекции на эту плоскость. Равные наклонные, проведённые из одной точки, имеют равные проекции, поэтому \(O_1A_1 = O_1A_2 = \ldots = O_1A_n\): точка \(O_1\) равноудалена от всех вершин основания, и около основания можно описать окружность с центром \(O_1\).
Если около основания пирамиды можно описать окружность, то такую пирамиду можно вписать в сферу. Значит, около данной пирамиды можно описать сферу.
Центр \(O\) этой сферы равноудалён от всех вершин основания, а геометрическим местом точек, равноудалённых от вершин многоугольника, вписанного в окружность, является прямая, перпендикулярная плоскости многоугольника и проходящая через центр этой окружности. Через точку \(O_1\) проходит единственная прямая, перпендикулярная плоскости основания, — прямая \(SO_1\). Значит, центр \(O\) сферы принадлежит прямой \(SO_1\), содержащей высоту пирамиды.
Ответ: около пирамиды с равными боковыми рёбрами можно описать сферу, и её центр принадлежит прямой, содержащей высоту пирамиды.
