Страница 134 номер 14.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — правильная пирамида
\(DO_1\) — высота пирамиды
\(O\) — центр описанного шара; \(O\) делит \(DO_1\) на отрезки 6 см и 3 см

Найти: \(AB\).

Решение: Пирамида правильная, поэтому её основание \(ABC\) — правильный треугольник, а основание \(O_1\) высоты — центр этого треугольника, то есть центр описанной около него окружности. Вершины пирамиды лежат на поверхности шара, поэтому \(OD = OA = R\), где \(R\) — радиус шара.

Отрезок \(OO_1\) лежит на высоте \(DO_1\) и перпендикулярен плоскости основания, поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)) и его гипотенуза \(OA\) больше катета \(OO_1\). Значит, \(OD = OA > OO_1\), то есть \(OD = 6\) см и \(OO_1 = 3\) см: при \(OD = 3\) см и \(OO_1 = 6\) см гипотенуза \(OA = 3\) см была бы меньше катета \(OO_1 = 6\) см. Радиус шара \(R = 6\) см.

Плоскость \(DO_1A\) проходит через центр \(O\) и пересекает шар по большому кругу; вершины \(D\) и \(A\) лежат на окружности этого круга.

\(O_1A = \sqrt{OA^2 - OO_1^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) (см).

Отрезок \(O_1A\) — радиус окружности, описанной около правильного треугольника \(ABC\), поэтому \(AB = O_1A\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9\) (см).

Ответ: 9 см.