Страница 135 номер 14.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Глава 2. Тела вращения. §14. Многогранники, вписанные в сферу. Страница 135. Номер 14.21

Дано:
\(DABC\) — пирамида
\(\angle ACB = 60^\circ\), \(AB = 4\sqrt{3}\) см
\(DA = DB = DC = 5\) см

Найти: \(d\) — расстояние от центра описанного шара до плоскости \(ABC\).

Решение: Пусть \(DO_1\) — высота пирамиды, \(O\) — центр описанного шара, \(R\) — его радиус. Боковые рёбра — равные наклонные, проведённые из точки \(D\) к плоскости основания, поэтому их проекции равны: \(O_1A = O_1B = O_1C\), и \(O_1\) — центр окружности, описанной около треугольника \(ABC\). По теореме синусов \(O_1A = \frac{AB}{2\sin\angle ACB} = \frac{4\sqrt{3}}{2\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4\) (см).

Треугольник \(DO_1A\) прямоугольный (\(\angle DO_1A = 90^\circ\)): \(DO_1 = \sqrt{DA^2 - O_1A^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\) (см).

Радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды, каждое боковое ребро которой равно \(b\), а высота равна \(h\), равен \(\frac{b^2}{2h}\), поэтому \(R = \frac{5^2}{2 \cdot 3} = \frac{25}{6}\) (см).

Центр \(O\) равноудалён от вершин \(A\), \(B\), \(C\), поэтому лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через \(O_1\), — на прямой \(DO_1\), и расстояние от \(O\) до плоскости основания равно \(OO_1\). Точка \(O\) не совпадает с \(O_1\), так как \(OA = R = \frac{25}{6}\) см, а \(O_1A = 4\) см; поэтому треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)):

\[\begin{aligned} &d = OO_1 = \sqrt{OA^2 - O_1A^2} = {} \\ &= \sqrt{\frac{625}{36} - 16} = \sqrt{\frac{49}{36}} = \frac{7}{6} \text{ (см)}. \end{aligned}\]

Так как \(DO_1 + O_1O = 3 + \frac{7}{6} = \frac{25}{6} = OD\), точка \(O_1\) лежит между \(D\) и \(O\): центр шара лежит на продолжении высоты за основание, вне пирамиды.

график