Вопросы после параграфа §17 на странице 132, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Углом в один радиан называют центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Говорят также, что радианная мера такой дуги равна одному радиану.

Радианная мера угла не зависит от радиуса окружности: если в окружности радиуса \(R\) центральный угол опирается на дугу длины \(R\), то в окружности радиуса \(r\) с тем же центром этот угол опирается на дугу длины \(r\), так как соответствующие секторы гомотетичны.

Например, длина полуокружности радиуса \(R\) равна \(\pi R\), поэтому её радианная мера равна \(\pi\) рад. Градусная мера полуокружности равна \(180^\circ\), значит, один радиан составляет \(\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\), то есть примерно \(57^\circ\).

Ответ: углом в один радиан называют центральный угол окружности, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

Центральный угол в \(1\) рад опирается на дугу, длина которой равна радиусу \(R\), а центральный угол в \(\alpha\) рад — на дугу, длина которой равна \(\alpha R\) (так определяется радианная мера). Значит, если длину дуги, содержащей \(\alpha\) рад, обозначить \(l\), то \[l = \alpha R.\] Например, дуга окружности радиуса \(6\) см, содержащая \(\frac{\pi}{3}\) рад, имеет длину \(\frac{\pi}{3} \cdot 6 = 2\pi\) (см).

Ответ: длина дуги окружности радиуса \(R\), содержащей \(\alpha\) рад, равна \(\alpha R\).

Если точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, то угол поворота считают положительным, если по часовой стрелке — отрицательным. Полный оборот — это поворот на угол \(2\pi\) (на \(360^\circ\)) или на угол \(-2\pi\), полтора оборота — поворот на угол \(3\pi\) или на угол \(-3\pi\). Точка может сделать любое число оборотов в любую сторону и остановиться в любом месте окружности, поэтому величина угла поворота как в радианах, так и в градусах может выражаться любым действительным числом: например, \(\frac{\pi}{6}\), \(-5\), \(0\), \(1000^\circ\).

Ответ: угол поворота может выражаться любым действительным числом — положительным, отрицательным или нулём.

Поворот точки \(P_0(1;\ 0)\) вокруг начала координат на данный угол \(\alpha\) переводит её в одну вполне определённую точку \(P = R_O^{\alpha}(P_0)\): угол поворота однозначно определяет положение точки на единичной окружности. Например, угол \(\frac{\pi}{2}\) определяет точку \((0;\ 1)\), а угол \(-\pi\) — точку \((-1;\ 0)\).

Ответ: угол поворота определяет на единичной окружности одну точку.

Если точка \(P\) получена поворотом точки \(P_0\) на угол \(\alpha\), то, добавив к этому повороту любое целое число полных оборотов в ту или другую сторону, получим ту же точку \(P\). Поэтому точке \(P\) соответствуют все углы вида \(\alpha + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), — их бесконечно много. Например, точке \((0;\ 1)\) соответствуют углы \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{5\pi}{2}\), \(-\frac{3\pi}{2}\) и вообще все углы вида \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).

Ответ: бесконечно много: если \(\alpha\) — один из этих углов, то положению точки соответствуют все углы вида \(\alpha + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).