Страница 126 номер 16.9, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 2} < 1\); 2) \(\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3\); 3) \(\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \leqslant \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9}\); 4) \(\frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 3x + 16}{6 - x} > 1\).
1) ОДЗ: \(2x - 1 \geqslant 0\) и \(x \ne 2\), то есть \(x \geqslant \frac{1}{2}\), \(x \ne 2\).
Если \(\frac{1}{2} \leqslant x < 2\), то \(\sqrt{2x - 1} \geqslant 0\), а \(x - 2 < 0\), поэтому левая часть не больше нуля и неравенство верно — все такие \(x\) решения.
Если \(x > 2\), то умножение обеих частей на положительное число \(x - 2\) даёт равносильное неравенство \(\sqrt{2x - 1} < x - 2\): \[\begin{gathered} \begin{cases}2x - 1 < (x - 2)^2,\\ x - 2 > 0,\\ 2x - 1 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 6x + 5 > 0,\\ x > 2;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 1, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x > 2;\end{cases} \\ x > 5. \end{gathered}\]
Объединение: \(\frac{1}{2} \leqslant x < 2\) или \(x > 5\).
2) ОДЗ: \(1 - 4x^2 \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\), \(x \ne 0\); на ней \(0 \leqslant \sqrt{1 - 4x^2} \leqslant 1\), поэтому числитель \(1 - \sqrt{1 - 4x^2}\) неотрицателен.
Если \(-\frac{1}{2} \leqslant x < 0\), то дробь не больше нуля и неравенство верно — все такие \(x\) решения.
Если \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\), то умножение обеих частей на положительное число \(x\) даёт \(1 - \sqrt{1 - 4x^2} < 3x\), то есть \(\sqrt{1 - 4x^2} > 1 - 3x\): \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}1 - 3x < 0,\\ 1 - 4x^2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}1 - 3x \geqslant 0,\\ 1 - 4x^2 > (1 - 3x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > \frac{1}{3},\\ -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2};\end{cases}\) \(\frac{1}{3} < x \leqslant \frac{1}{2}\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ 1 - 4x^2 > 1 - 6x + 9x^2;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ x(13x - 6) < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ 0 < x < \frac{6}{13};\end{cases}\) \(0 < x \leqslant \frac{1}{3}\).
Значит, при \(x > 0\) решением является весь промежуток \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\), и вместе с первым случаем получаем \(-\frac{1}{2} \leqslant x < 0\) или \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\).
3) ОДЗ: \(8 - 2x - x^2 \geqslant 0\), \(x \ne -10\) и \(x \ne -4{,}5\); из \(x^2 + 2x - 8 \leqslant 0\) получаем \(-4 \leqslant x \leqslant 2\), а числа \(-10\) и \(-4{,}5\) этому отрезку не принадлежат. На отрезке \([-4;\ 2]\) имеем \(x + 10 \geqslant 6 > 0\), \(2x + 9 \geqslant 1 > 0\).
Если \(\sqrt{8 - 2x - x^2} = 0\), то есть \(x = -4\) или \(x = 2\), то обе части равны нулю и неравенство верно.
Если \(-4 < x < 2\), то корень положителен, и деление на него даёт равносильное неравенство \(\frac{1}{x + 10} \leqslant \frac{1}{2x + 9}\); умножив обе части на положительное число \((x + 10)(2x + 9)\), получаем \(2x + 9 \leqslant x + 10\); \(x \leqslant 1\), то есть \(-4 < x \leqslant 1\).
Объединение: отрезок \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) и отдельное число 2.
4) ОДЗ: \(x^2 - 3x - 4 \geqslant 0\) и \(x \ne 6\); из \((x + 1)(x - 4) \geqslant 0\) получаем \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 4\), причём \(x \ne 6\).
Вычтем из обеих частей 1: \(\frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 2x + 10}{6 - x} > 0\).
Если \(x < 6\), то умножение обеих частей на положительное число \(6 - x\) даёт равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 - 3x - 4} > 2x - 10\): \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}2x - 10 < 0,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}2x - 10 \geqslant 0,\\ x^2 - 3x - 4 > (2x - 10)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 5,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ x \geqslant 4; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ 4 \leqslant x < 5. \end{array}\right.\)
Во второй системе \(x^2 - 3x - 4 > 4x^2 - 40x + 100\); \(3x^2 - 37x + 104 < 0\); \(D = 1369 - 1248 = 121\), корни \(x = \frac{37 \pm 11}{6}\), то есть \(x = \frac{13}{3}\) и \(x = 8\); тогда \(\begin{cases}x \geqslant 5,\\ \frac{13}{3} < x < 8;\end{cases}\) \(5 \leqslant x < 8\).
Вместе с условием \(x < 6\) получаем \(x \leqslant -1\) или \(4 \leqslant x < 6\).
Если \(x > 6\), то умножение обеих частей на отрицательное число \(6 - x\) со сменой знака неравенства даёт равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 - 3x - 4} < 2x - 10\): \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 - 3x - 4 < (2x - 10)^2,\\ 2x - 10 > 0,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}3x^2 - 37x + 104 > 0,\\ x > 5,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < \frac{13}{3}, \\ x > 8, \end{array}\right. \\ x > 5;\end{cases} \\ x > 8. \end{gathered}\] Вместе с условием \(x > 6\) получаем \(x > 8\).
Объединение: \(x \leqslant -1\), \(4 \leqslant x < 6\) или \(x > 8\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\left[-\frac{1}{2};\ 0\right) \cup \left(0;\ \frac{1}{2}\right]\); 3) \([-4;\ 1] \cup \{2\}\); 4) \((-\infty;\ -1] \cup [4;\ 6) \cup (8;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\frac{\sqrt{2x - 1}}{x - 2} < 1\); 2) \(\frac{1 - \sqrt{1 - 4x^2}}{x} < 3\); 3) \(\frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{x + 10} \leqslant \frac{\sqrt{8 - 2x - x^2}}{2x + 9}\); 4) \(\frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 3x + 16}{6 - x} > 1\).
1) Область определения неравенства задаётся условиями \(2x - 1 \geqslant 0\) и \(x \ne 2\), то есть \(x \geqslant \frac{1}{2}\), \(x \ne 2\).
Если \(\frac{1}{2} \leqslant x < 2\), то \(\sqrt{2x - 1} \geqslant 0\), а \(x - 2 < 0\), поэтому левая часть неравенства не больше нуля и неравенство верно. Все такие значения \(x\) — решения.
Если \(x > 2\), то, умножив обе части на положительное число \(x - 2\), получаем равносильное неравенство \(\sqrt{2x - 1} < x - 2\). Оно равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}2x - 1 < (x - 2)^2,\\ x - 2 > 0,\\ 2x - 1 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 6x + 5 > 0,\\ x > 2.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \(\begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 1, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x > 2;\end{cases}\) \(x > 5\).
Объединяя найденные решения, получаем \(\frac{1}{2} \leqslant x < 2\) или \(x > 5\).
2) Область определения неравенства задаётся условиями \(1 - 4x^2 \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\), \(x \ne 0\). На ней \(0 \leqslant 1 - 4x^2 \leqslant 1\), поэтому \(0 \leqslant \sqrt{1 - 4x^2} \leqslant 1\) и числитель \(1 - \sqrt{1 - 4x^2}\) неотрицателен.
Если \(-\frac{1}{2} \leqslant x < 0\), то дробь не больше нуля и неравенство верно. Все такие значения \(x\) — решения.
Если \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\), то, умножив обе части на положительное число \(x\), получаем равносильное неравенство \(1 - \sqrt{1 - 4x^2} < 3x\), то есть \(\sqrt{1 - 4x^2} > 1 - 3x\). Оно равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}1 - 3x < 0,\\ 1 - 4x^2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}1 - 3x \geqslant 0,\\ 1 - 4x^2 > (1 - 3x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > \frac{1}{3},\\ -\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant \frac{1}{2};\end{cases}\) \(\frac{1}{3} < x \leqslant \frac{1}{2}\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ 1 - 4x^2 > 1 - 6x + 9x^2;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ x(13x - 6) < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant \frac{1}{3},\\ 0 < x < \frac{6}{13};\end{cases}\) \(0 < x \leqslant \frac{1}{3}\).
Значит, при \(x > 0\) решением является весь промежуток \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\).
Объединяя найденные решения, получаем \(-\frac{1}{2} \leqslant x < 0\) или \(0 < x \leqslant \frac{1}{2}\).
3) Область определения неравенства задаётся условиями \(8 - 2x - x^2 \geqslant 0\), \(x \ne -10\) и \(x \ne -4{,}5\). Из неравенства \(x^2 + 2x - 8 \leqslant 0\) получаем \(-4 \leqslant x \leqslant 2\); числа \(-10\) и \(-4{,}5\) этому отрезку не принадлежат. Значит, область определения — отрезок \([-4;\ 2]\), и на нём \(x + 10 \geqslant 6 > 0\), \(2x + 9 \geqslant 1 > 0\).
Если \(\sqrt{8 - 2x - x^2} = 0\), то есть \(x = -4\) или \(x = 2\), то обе части неравенства равны нулю и неравенство верно.
Если \(-4 < x < 2\), то \(\sqrt{8 - 2x - x^2} > 0\), и, разделив обе части на это положительное число, получаем равносильное неравенство \(\frac{1}{x + 10} \leqslant \frac{1}{2x + 9}\). Умножив обе части на положительное число \((x + 10)(2x + 9)\), получаем \(2x + 9 \leqslant x + 10\), откуда \(x \leqslant 1\). Вместе с условием \(-4 < x < 2\) это даёт \(-4 < x \leqslant 1\).
Объединяя найденные решения, получаем отрезок \(-4 \leqslant x \leqslant 1\) и отдельное число 2.
4) Область определения неравенства задаётся условиями \(x^2 - 3x - 4 \geqslant 0\) и \(x \ne 6\). Из \((x + 1)(x - 4) \geqslant 0\) получаем \(x \leqslant -1\) или \(x \geqslant 4\), причём \(x \ne 6\).
Вычтем из обеих частей 1: \(\frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 3x + 16 - (6 - x)}{6 - x} > 0\), то есть \(\frac{\sqrt{x^2 - 3x - 4} - 2x + 10}{6 - x} > 0\).
Если \(x < 6\), то \(6 - x > 0\), и, умножив обе части на это положительное число, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 - 3x - 4} > 2x - 10\). Оно равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}2x - 10 < 0,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}2x - 10 \geqslant 0,\\ x^2 - 3x - 4 > (2x - 10)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 5,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ x \geqslant 4; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1, \\ 4 \leqslant x < 5. \end{array}\right.\)
Во второй системе \(x^2 - 3x - 4 > 4x^2 - 40x + 100\); \(3x^2 - 37x + 104 < 0\). Дискриминант трёхчлена \(3x^2 - 37x + 104\) равен \(D = 1369 - 1248 = 121\), его корни \(x = \frac{37 \pm 11}{6}\), то есть \(x = \frac{13}{3}\) и \(x = 8\). Тогда вторая система принимает вид \(\begin{cases}x \geqslant 5,\\ \frac{13}{3} < x < 8;\end{cases}\) \(5 \leqslant x < 8\).
Вместе с условием \(x < 6\) получаем \(x \leqslant -1\) или \(4 \leqslant x < 6\).
Если \(x > 6\), то \(6 - x < 0\), и, умножив обе части на это отрицательное число и изменив знак неравенства, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 - 3x - 4} < 2x - 10\). Оно равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 - 3x - 4 < (2x - 10)^2,\\ 2x - 10 > 0,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}3x^2 - 37x + 104 > 0,\\ x > 5,\\ x^2 - 3x - 4 \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \(\begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < \frac{13}{3}, \\ x > 8, \end{array}\right. \\ x > 5;\end{cases}\) \(x > 8\). Вместе с условием \(x > 6\) получаем \(x > 8\).
Объединяя найденные решения, получаем \(x \leqslant -1\), \(4 \leqslant x < 6\) или \(x > 8\).
Ответ: 1) \(\left[\frac{1}{2};\ 2\right) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \(\left[-\frac{1}{2};\ 0\right) \cup \left(0;\ \frac{1}{2}\right]\); 3) \([-4;\ 1] \cup \{2\}\); 4) \((-\infty;\ -1] \cup [4;\ 6) \cup (8;\ +\infty)\).
