Страница 134 номер 17.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Постройте на единичной окружности точки, которым соответствует множество чисел: 1) \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 2) \(-\frac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbf{Z}\).
1) Числам \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), соответствует одна точка \(R_O^{\frac{3\pi}{4}}(P_0)\); так как \(\frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\), это середина дуги II четверти между точками \((0;\ 1)\) и \((-1;\ 0)\).
2) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), числам \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi m\) соответствует точка \(R_O^{-\frac{\pi}{4}}(P_0)\) — середина дуги IV четверти между точками \((1;\ 0)\) и \((0;\ -1)\).
При нечётном \(k = 2m + 1\) числам \(-\frac{\pi}{4} + \pi(2m + 1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m\) соответствует точка \(R_O^{\frac{3\pi}{4}}(P_0)\) — середина дуги II четверти.
Множеству соответствуют две точки, симметричные относительно начала координат.
3) При \(k = 4m\), \(k = 4m + 1\), \(k = 4m + 2\), \(k = 4m + 3\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем числа \(2\pi m\), \(\frac{\pi}{2} + 2\pi m\), \(\pi + 2\pi m\), \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi m\); им соответствуют четыре точки пересечения единичной окружности с осями координат: \((1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ -1)\).
Постройте на единичной окружности точки, которым соответствует множество чисел: 1) \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 2) \(-\frac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbf{Z}\).
Числа, отличающиеся на целое число полных оборотов, то есть на \(2\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\), соответствуют одной и той же точке единичной окружности.
1) Все числа \(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), отличаются от числа \(\frac{3\pi}{4}\) на целое число полных оборотов, поэтому им соответствует одна точка — \(R_O^{\frac{3\pi}{4}}(P_0)\). Так как \(\frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\), это середина дуги II четверти между точками \((0;\ 1)\) и \((-1;\ 0)\).
2) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем числа \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi m\) — им соответствует точка \(R_O^{-\frac{\pi}{4}}(P_0)\), середина дуги IV четверти между точками \((1;\ 0)\) и \((0;\ -1)\). При нечётном \(k = 2m + 1\) получаем числа \(-\frac{\pi}{4} + \pi(2m + 1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m\) — им соответствует точка \(R_O^{\frac{3\pi}{4}}(P_0)\), середина дуги II четверти. Множеству соответствуют две точки, симметричные относительно начала координат.
3) Разобьём целые числа \(k\) по остаткам от деления на 4: \(k = 4m\), \(k = 4m + 1\), \(k = 4m + 2\), \(k = 4m + 3\), \(m \in \mathbf{Z}\). Получим числа \(2\pi m\), \(\frac{\pi}{2} + 2\pi m\), \(\pi + 2\pi m\), \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi m\); им соответствуют четыре точки пересечения единичной окружности с осями координат: \((1;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((-1;\ 0)\), \((0;\ -1)\).
