Страница 126 номер 16.8, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x - 3)\sqrt{x^2 + x - 2} \geqslant 0\); 2) \((x^2 - 9)\sqrt{16 - x^2} \geqslant 0\).
1) ОДЗ: \(x^2 + x - 2 \geqslant 0\); на ней корень неотрицателен, поэтому произведение неотрицательно либо когда корень равен нулю, либо когда корень положителен, а множитель \(x - 3\) неотрицателен: \[\left[\begin{array}{l} x^2 + x - 2 = 0, \\ \begin{cases}x^2 + x - 2 > 0,\\ x - 3 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = -2\) и \(x = 1\).
Система: \(\begin{cases}(x + 2)(x - 1) > 0,\\ x \geqslant 3;\end{cases}\) \(x \geqslant 3\).
Объединение: числа \(-2\) и 1, а также промежуток \(x \geqslant 3\).
2) Рассуждая так же, получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} 16 - x^2 = 0, \\ \begin{cases}16 - x^2 > 0,\\ x^2 - 9 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = -4\) и \(x = 4\).
Система: \(\begin{cases}-4 < x < 4,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 3; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} -4 < x \leqslant -3, \\ 3 \leqslant x < 4. \end{array}\right.\)
Объединение: \(-4 \leqslant x \leqslant -3\) или \(3 \leqslant x \leqslant 4\).
Ответ: 1) \(\{-2,\ 1\} \cup [3;\ +\infty)\); 2) \([-4;\ -3] \cup [3;\ 4]\).
Решите неравенство: 1) \((x - 3)\sqrt{x^2 + x - 2} \geqslant 0\); 2) \((x^2 - 9)\sqrt{16 - x^2} \geqslant 0\).
1) Область определения неравенства задаётся условием \(x^2 + x - 2 \geqslant 0\). На ней \(\sqrt{x^2 + x - 2} \geqslant 0\), поэтому произведение неотрицательно либо когда корень равен нулю, либо когда корень положителен и множитель \(x - 3\) неотрицателен. Значит, данное неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x^2 + x - 2 = 0, \\ \begin{cases}x^2 + x - 2 > 0,\\ x - 3 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = -2\) и \(x = 1\).
Система: \(\begin{cases}(x + 2)(x - 1) > 0,\\ x \geqslant 3;\end{cases}\) \(x \geqslant 3\).
Объединяя найденные решения, получаем числа \(-2\) и 1, а также промежуток \(x \geqslant 3\).
2) Рассуждая так же, получаем, что данное неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} 16 - x^2 = 0, \\ \begin{cases}16 - x^2 > 0,\\ x^2 - 9 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = -4\) и \(x = 4\).
Система: \(\begin{cases}-4 < x < 4,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 3; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} -4 < x \leqslant -3, \\ 3 \leqslant x < 4. \end{array}\right.\)
Объединяя найденные решения, получаем \(-4 \leqslant x \leqslant -3\) или \(3 \leqslant x \leqslant 4\).
Ответ: 1) \(\{-2,\ 1\} \cup [3;\ +\infty)\); 2) \([-4;\ -3] \cup [3;\ 4]\).
