Вопросы после параграфа §18 на странице 141, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Пусть точка \(P(x;\ y)\) единичной окружности получена в результате поворота точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\), то есть \(P = R_O^{\alpha}(P_0)\). Косинусом угла поворота \(\alpha\) называют абсциссу \(x\) точки \(P\), а синусом угла поворота \(\alpha\) — её ординату \(y\): \(\cos\alpha = x\), \(\sin\alpha = y\).

Тангенсом угла поворота \(\alpha\) называют отношение синуса этого угла к его косинусу, а котангенсом — отношение косинуса этого угла к его синусу: \[\begin{aligned} \operatorname{tg}\alpha &= \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}; \\ \operatorname{ctg}\alpha &= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}. \end{aligned}\] Тангенс определён для тех углов, у которых \(\cos\alpha \ne 0\), котангенс — для тех, у которых \(\sin\alpha \ne 0\).

Например, при повороте на угол \(\pi\) точка \(P_0\) переходит в точку \((-1;\ 0)\), поэтому \(\cos\pi = -1\), \(\sin\pi = 0\), \(\operatorname{tg}\pi = \frac{0}{-1} = 0\), а \(\operatorname{ctg}\pi\) не определён, так как \(\sin\pi = 0\).

Ответ: косинус и синус угла поворота \(\alpha\) — абсцисса и ордината точки единичной окружности, полученной поворотом точки \(P_0(1;\ 0)\) на угол \(\alpha\); тангенс угла поворота — отношение его синуса к косинусу, котангенс — отношение его косинуса к синусу.

Каждому углу поворота \(\alpha\) соответствует единственная точка единичной окружности. Поэтому каждому значению \(\alpha\) соответствует единственное значение синуса и косинуса, а также тангенса (при \(\alpha \ne \frac{\pi}{2} + \pi k\)) и котангенса (при \(\alpha \ne \pi k\)), \(k \in \mathbf{Z}\). Значит, зависимость синуса (косинуса, тангенса, котангенса) от величины угла поворота — функциональная. Функции \(f(\alpha) = \sin\alpha\), \(g(\alpha) = \cos\alpha\), \(h(\alpha) = \operatorname{tg}\alpha\), \(p(\alpha) = \operatorname{ctg}\alpha\) называют тригонометрическими функциями угла поворота \(\alpha\).

Если каждому действительному числу \(x\) поставить в соответствие угол в \(x\) радиан, то синус, косинус, тангенс и котангенс этого угла становятся функциями числа \(x\) — это тригонометрические функции числового аргумента. Например, запись \(\sin 2\) означает синус угла в \(2\) радиана, а запись \(\cos\pi = -1\) — что косинус угла в \(\pi\) радиан равен \(-1\).

Ответ: тригонометрические функции угла поворота — функции \(f(\alpha) = \sin\alpha\), \(g(\alpha) = \cos\alpha\), \(h(\alpha) = \operatorname{tg}\alpha\), \(p(\alpha) = \operatorname{ctg}\alpha\), которые каждому углу поворота \(\alpha\) ставят в соответствие его синус, косинус, тангенс, котангенс; тригонометрические функции числового аргумента — те же функции, аргумент которых — действительное число \(x\), понимаемое как угол в \(x\) радиан.

Любому числу \(x\) соответствует точка единичной окружности, полученная поворотом точки \(P_0\) на угол \(x\), а у этой точки есть и абсцисса, и ордината. Поэтому область определения функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — множество \(\mathbf{R}\).

Тангенс \(\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}\) определён, когда \(\cos x \ne 0\). Абсциссу, равную нулю, имеют только точки \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\) единичной окружности, а они получены поворотами точки \(P_0\) на углы \(\frac{\pi}{2} + \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Поэтому область определения функции \(y = \operatorname{tg} x\) — множество \(\left\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\right\}\).

Котангенс \(\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}\) определён, когда \(\sin x \ne 0\). Ординату, равную нулю, имеют только точки \((1;\ 0)\) и \((-1;\ 0)\), а они получены поворотами точки \(P_0\) на углы \(\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Поэтому область определения функции \(y = \operatorname{ctg} x\) — множество \(\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\}\).

Например, число \(\frac{\pi}{2}\) принадлежит области определения синуса, косинуса и котангенса, но не тангенса.

Ответ: область определения функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — множество \(\mathbf{R}\); функции \(y = \operatorname{tg} x\) — множество \(\left\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\right\}\); функции \(y = \operatorname{ctg} x\) — множество \(\{x \in \mathbf{R} \mid x \ne \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\}\).

Значения синуса и косинуса — ординаты и абсциссы точек единичной окружности, а они принимают все значения от \(-1\) до \(1\) включительно. Поэтому область значений функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — промежуток \([-1;\ 1]\).

Прямую \(x = 1\) называют осью тангенсов: если прямая \(OP\), где \(P = R_O^{\alpha}(P_0)\), пересекает её в точке \(M\), то ордината точки \(M\) равна \(\operatorname{tg}\alpha\). При изменении положения точки \(P\) на единичной окружности точка \(M\) может занять любое положение на оси тангенсов, то есть \(\operatorname{tg}\alpha\) может быть равен любому числу. Поэтому область значений функции \(y = \operatorname{tg} x\) — множество \(\mathbf{R}\). Прямую \(y = 1\) называют осью котангенсов: абсцисса точки её пересечения с прямой \(OP\) равна \(\operatorname{ctg}\alpha\) и тоже может быть любым числом. Поэтому область значений функции \(y = \operatorname{ctg} x\) — тоже множество \(\mathbf{R}\).

Например, равенство \(\sin x = 2\) невозможно, а равенство \(\operatorname{tg} x = 2\) возможно.

Ответ: область значений функций \(y = \sin x\) и \(y = \cos x\) — промежуток \([-1;\ 1]\); функций \(y = \operatorname{tg} x\) и \(y = \operatorname{ctg} x\) — множество \(\mathbf{R}\).