Страница 135 номер 17.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Упростите: 1) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \cup \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 2) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \cap \{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(\left\{\pm\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\); 4) \(\left\{\frac{\pi n}{12} \mid n \in \mathbf{Z}\right\} \cap \left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
1) \(2\pi n = \pi \cdot 2n\) — число \(\pi\), умноженное на все чётные числа, а \(\pi + 2\pi n = \pi(2n + 1)\) — на все нечётные; каждое целое число либо чётно, либо нечётно, поэтому объединение состоит из всех чисел вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) \(2\pi n = \pi \cdot 2n\), где \(2n\) — целое число, поэтому \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \subset \{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\), и пересечение этих множеств равно \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\).
3) \(-\frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(n - 1)\), а когда \(n\) пробегает все целые числа, число \(n - 1\) тоже пробегает все целые числа; значит, числа \(-\frac{\pi}{2} + \pi n\) совпадают с числами \(\frac{\pi}{2} + \pi n\), и данное множество равно \(\left\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
4) \(\frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi(12n + 4)}{12}\), где \(12n + 4\) — целое число, поэтому \(\left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\} \subset \left\{\frac{\pi n}{12} \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\), и пересечение этих множеств равно \(\left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
Ответ: 1) \(\{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 2) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(\left\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\); 4) \(\left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
Упростите: 1) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \cup \{\pi + 2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 2) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \cap \{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(\left\{\pm\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\); 4) \(\left\{\frac{\pi n}{12} \mid n \in \mathbf{Z}\right\} \cap \left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
1) Числа \(2\pi n = \pi \cdot 2n\) — это число \(\pi\), умноженное на все чётные числа, а числа \(\pi + 2\pi n = \pi(2n + 1)\) — на все нечётные числа. Каждое целое число либо чётно, либо нечётно, поэтому объединение состоит из всех чисел вида \(\pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\).
2) Каждое число \(2\pi n = \pi \cdot 2n\), \(n \in \mathbf{Z}\), принадлежит множеству \(\{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\), так как \(2n\) — целое число. Значит, \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\} \subset \{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\), и пересечение этих множеств равно первому из них: \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\).
3) Множество \(\left\{\pm\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\) состоит из чисел \(\frac{\pi}{2} + \pi n\) и \(-\frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in \mathbf{Z}\). Но \(-\frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi(n - 1)\), и когда \(n\) пробегает все целые числа, число \(n - 1\) тоже пробегает все целые числа. Значит, числа второго вида совпадают с числами первого вида, и данное множество равно \(\left\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
4) Каждое число второго множества принадлежит первому: \(\frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi(12n + 4)}{12}\), где \(12n + 4\) — целое число. Значит, \(\left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\} \subset \left\{\frac{\pi n}{12} \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\), и пересечение этих множеств равно второму из них.
Ответ: 1) \(\{\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 2) \(\{2\pi n \mid n \in \mathbf{Z}\}\); 3) \(\left\{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\); 4) \(\left\{\frac{\pi}{3} + \pi n \mid n \in \mathbf{Z}\right\}\).
