Страница 122 номер 15.21, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x\); 2) \((\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 10} - 4) = x\).
1) Дискриминанты трёхчленов \(2x^2 + 3x + 5\) и \(2x^2 - 3x + 5\) равны \(9 - 40 = -31\), а старшие коэффициенты положительны, поэтому оба подкоренных выражения положительны при всех \(x\).
Умножим обе части на \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5}\) — получим уравнение-следствие \(6x = 3x\left(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5}\right)\), равносильное совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 2. \end{array}\right.\]
Сложив второе уравнение совокупности с исходным, получаем \(2\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = 3x + 2\), то есть \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = \frac{3x + 2}{2}\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} 3x + 2 \geqslant 0, \\ 4\left(2x^2 + 3x + 5\right) = (3x + 2)^2; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -\frac{2}{3}, \\ 8x^2 + 12x + 20 = 9x^2 + 12x + 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -\frac{2}{3}, \\ x^2 = 16. \end{cases} \end{gathered}\]
Корни уравнения \(x^2 = 16\) — числа \(4\) и \(-4\); условию \(x \geqslant -\frac{2}{3}\) удовлетворяет только \(x = 4\).
Проверка: при \(x = 4\) левая часть исходного уравнения равна \(\sqrt{32 + 12 + 5} + \sqrt{32 - 12 + 5} = 7 + 5 = 12\), правая равна \(3 \cdot 4 = 12\) — число 4 является корнем. При \(x = 0\) левая часть равна \(2\sqrt{5}\), а правая равна 0 — число 0 корнем не является.
2) ОДЗ: \(x + 1 \geqslant 0\) и \(x + 10 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -1\).
Умножим обе части на \(\sqrt{x + 1} - 1\); так как \(\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = x\), получим уравнение-следствие \(x\left(\sqrt{x + 10} - 4\right) = x\left(\sqrt{x + 1} - 1\right)\), равносильное совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{x + 10} - 4 = \sqrt{x + 1} - 1. \end{array}\right.\]
Второе уравнение совокупности: \(\sqrt{x + 10} = \sqrt{x + 1} + 3\); обе части неотрицательны, поэтому \(x + 10 = x + 1 + 6\sqrt{x + 1} + 9\); \(6\sqrt{x + 1} = 0\); \(\sqrt{x + 1} = 0\); \(x = -1\).
Проверка: при \(x = -1\) левая часть исходного уравнения равна \(\left(\sqrt{0} + 1\right)\left(\sqrt{9} - 4\right) = 3 - 4 = -1\), что совпадает с правой частью, — число \(-1\) является корнем. При \(x = 0\) левая часть равна \(2\left(\sqrt{10} - 4\right)\); так как \(\sqrt{10} < 4\), она отрицательна, а правая часть равна 0 — число 0 корнем не является.
Ответ: 1) 4; 2) \(-1\).
Решите уравнение: 1) \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} + \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 3x\); 2) \((\sqrt{x + 1} + 1)(\sqrt{x + 10} - 4) = x\).
1) Дискриминанты трёхчленов \(2x^2 + 3x + 5\) и \(2x^2 - 3x + 5\) равны \(9 - 40 = -31\), а старшие коэффициенты положительны, поэтому оба подкоренных выражения положительны при всех \(x\).
Умножим обе части уравнения на выражение \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5}\). Получим уравнение-следствие:
\[\left(2x^2 + 3x + 5\right) - \left(2x^2 - 3x + 5\right) = 3x\left(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5}\right);\]
\[6x = 3x\left(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5}\right).\]
Это уравнение равносильно совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 2. \end{array}\right.\]
Сложим почленно исходное уравнение и уравнение \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} - \sqrt{2x^2 - 3x + 5} = 2\): получим \(2\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = 3x + 2\), то есть \(\sqrt{2x^2 + 3x + 5} = \frac{3x + 2}{2}\). Отсюда:
\[\begin{gathered} \begin{cases} 3x + 2 \geqslant 0, \\ 4\left(2x^2 + 3x + 5\right) = (3x + 2)^2; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -\frac{2}{3}, \\ 8x^2 + 12x + 20 = 9x^2 + 12x + 4; \end{cases} \\ \begin{cases} x \geqslant -\frac{2}{3}, \\ x^2 = 16. \end{cases} \end{gathered}\]
Уравнение \(x^2 = 16\) имеет корни \(4\) и \(-4\); условию \(x \geqslant -\frac{2}{3}\) удовлетворяет только \(x = 4\).
Проверка: при \(x = 4\) левая часть исходного уравнения равна \(\sqrt{32 + 12 + 5} + \sqrt{32 - 12 + 5} = 7 + 5 = 12\), правая равна \(3 \cdot 4 = 12\) — число 4 является корнем. При \(x = 0\) левая часть равна \(2\sqrt{5}\), а правая равна 0 — число 0 корнем не является.
2) Уравнение имеет смысл при \(x + 1 \geqslant 0\) и \(x + 10 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant -1\).
Умножим обе части уравнения на выражение \(\sqrt{x + 1} - 1\). Так как \(\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)\left(\sqrt{x + 1} - 1\right) = (x + 1) - 1 = x\), получим уравнение-следствие:
\[x\left(\sqrt{x + 10} - 4\right) = x\left(\sqrt{x + 1} - 1\right).\]
Это уравнение равносильно совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} x = 0, \\ \sqrt{x + 10} - 4 = \sqrt{x + 1} - 1. \end{array}\right.\]
Решим второе уравнение совокупности: \(\sqrt{x + 10} = \sqrt{x + 1} + 3\). Обе его части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат даёт равносильное на области определения уравнение \(x + 10 = x + 1 + 6\sqrt{x + 1} + 9\); \(6\sqrt{x + 1} = 0\); \(\sqrt{x + 1} = 0\); \(x = -1\).
Проверка: при \(x = -1\) левая часть исходного уравнения равна \(\left(\sqrt{0} + 1\right)\left(\sqrt{9} - 4\right) = 3 - 4 = -1\), что совпадает с правой частью, — число \(-1\) является корнем. При \(x = 0\) левая часть равна \(2\left(\sqrt{10} - 4\right)\); так как \(\sqrt{10} < 4\), она отрицательна, а правая часть равна 0 — число 0 корнем не является.
Ответ: 1) 4; 2) \(-1\).
