Страница 126 номер 16.5, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x + 7} \geqslant x + 1\); 2) \(\sqrt{x^2 - 2x} \geqslant 4 - x\); 3) \(\sqrt{x^2 + x - 2} > x\); 4) \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5} > 8 - 2x\).
1) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 1 < 0,\\ x + 7 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 1 \geqslant 0,\\ x + 7 \geqslant (x + 1)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -1,\\ x \geqslant -7;\end{cases}\) \(-7 \leqslant x < -1\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -1,\\ x^2 + x - 6 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -1,\\ -3 \leqslant x \leqslant 2;\end{cases}\) \(-1 \leqslant x \leqslant 2\).
Объединение: \(-7 \leqslant x \leqslant 2\).
2) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}4 - x < 0,\\ x^2 - 2x \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}4 - x \geqslant 0,\\ x^2 - 2x \geqslant (4 - x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > 4,\\ x(x - 2) \geqslant 0;\end{cases}\) \(x > 4\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ x^2 - 2x \geqslant 16 - 8x + x^2;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ 6x \geqslant 16;\end{cases}\) \(\frac{8}{3} \leqslant x \leqslant 4\).
Объединение: \(x \geqslant \frac{8}{3}\).
3) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x < 0,\\ x^2 + x - 2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x \geqslant 0,\\ x^2 + x - 2 > x^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 0,\\ (x + 2)(x - 1) \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \leqslant -2\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ x > 2;\end{cases}\) \(x > 2\).
Объединение: \(x \leqslant -2\) или \(x > 2\).
4) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}8 - 2x < 0,\\ -x^2 + 6x - 5 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}8 - 2x \geqslant 0,\\ -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > 4,\\ x^2 - 6x + 5 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x > 4,\\ 1 \leqslant x \leqslant 5;\end{cases}\) \(4 < x \leqslant 5\).
Во второй системе \(-x^2 + 6x - 5 > 64 - 32x + 4x^2\); \(5x^2 - 38x + 69 < 0\); \(D = 1444 - 1380 = 64\), корни \(x = \frac{38 \pm 8}{10}\), то есть \(x = 3\) и \(x = 4{,}6\); тогда \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ 3 < x < 4{,}6;\end{cases}\) \(3 < x \leqslant 4\).
Объединение: \(3 < x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \([-7;\ 2]\); 2) \(\left[\frac{8}{3};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -2] \cup (2;\ +\infty)\); 4) \((3;\ 5]\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x + 7} \geqslant x + 1\); 2) \(\sqrt{x^2 - 2x} \geqslant 4 - x\); 3) \(\sqrt{x^2 + x - 2} > x\); 4) \(\sqrt{-x^2 + 6x - 5} > 8 - 2x\).
1) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 1 < 0,\\ x + 7 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 1 \geqslant 0,\\ x + 7 \geqslant (x + 1)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -1,\\ x \geqslant -7;\end{cases}\) \(-7 \leqslant x < -1\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -1,\\ x^2 + x - 6 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -1,\\ -3 \leqslant x \leqslant 2;\end{cases}\) \(-1 \leqslant x \leqslant 2\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(-7 \leqslant x \leqslant 2\).
2) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}4 - x < 0,\\ x^2 - 2x \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}4 - x \geqslant 0,\\ x^2 - 2x \geqslant (4 - x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > 4,\\ x(x - 2) \geqslant 0;\end{cases}\) \(x > 4\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ x^2 - 2x \geqslant 16 - 8x + x^2;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ 6x \geqslant 16;\end{cases}\) \(\frac{8}{3} \leqslant x \leqslant 4\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(x \geqslant \frac{8}{3}\).
3) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x < 0,\\ x^2 + x - 2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x \geqslant 0,\\ x^2 + x - 2 > x^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 0,\\ (x + 2)(x - 1) \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \leqslant -2\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ x > 2;\end{cases}\) \(x > 2\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(x \leqslant -2\) или \(x > 2\).
4) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}8 - 2x < 0,\\ -x^2 + 6x - 5 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}8 - 2x \geqslant 0,\\ -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x > 4,\\ x^2 - 6x + 5 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x > 4,\\ 1 \leqslant x \leqslant 5;\end{cases}\) \(4 < x \leqslant 5\).
Во второй системе \(-x^2 + 6x - 5 > 64 - 32x + 4x^2\); \(5x^2 - 38x + 69 < 0\). Дискриминант трёхчлена \(5x^2 - 38x + 69\) равен \(D = 1444 - 1380 = 64\), его корни \(x = \frac{38 \pm 8}{10}\), то есть \(x = 3\) и \(x = 4{,}6\). Тогда вторая система принимает вид \(\begin{cases}x \leqslant 4,\\ 3 < x < 4{,}6;\end{cases}\) \(3 < x \leqslant 4\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(3 < x \leqslant 5\).
Ответ: 1) \([-7;\ 2]\); 2) \(\left[\frac{8}{3};\ +\infty\right)\); 3) \((-\infty;\ -2] \cup (2;\ +\infty)\); 4) \((3;\ 5]\).
