Страница 126 номер 16.7, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x + 10)\sqrt{x - 4} \leqslant 0\); 2) \((x + 2)\sqrt{(4 - x)(5 - x)} \geqslant 0\).
1) ОДЗ: \(x - 4 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 4\); на ней \(\sqrt{x - 4} \geqslant 0\), поэтому произведение не превосходит нуля либо когда корень равен нулю, либо когда корень положителен, а множитель \(x + 10\) не превосходит нуля: \[\left[\begin{array}{l} x - 4 = 0, \\ \begin{cases}x - 4 > 0,\\ x + 10 \leqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = 4\); система \(\begin{cases}x > 4,\\ x \leqslant -10;\end{cases}\) решений не имеет.
Значит, данному неравенству удовлетворяет только \(x = 4\).
2) ОДЗ: \((4 - x)(5 - x) \geqslant 0\). Рассуждая так же, получаем совокупность \[\left[\begin{array}{l} (4 - x)(5 - x) = 0, \\ \begin{cases}(4 - x)(5 - x) > 0,\\ x + 2 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = 4\) и \(x = 5\).
Система: \(\begin{cases}(x - 4)(x - 5) > 0,\\ x \geqslant -2;\end{cases}\) \(\begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant -2;\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x < 4, \\ x > 5. \end{array}\right.\)
Объединение: \(-2 \leqslant x \leqslant 4\) или \(x \geqslant 5\).
Ответ: 1) \(x = 4\); 2) \([-2;\ 4] \cup [5;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \((x + 10)\sqrt{x - 4} \leqslant 0\); 2) \((x + 2)\sqrt{(4 - x)(5 - x)} \geqslant 0\).
1) Область определения неравенства задаётся условием \(x - 4 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 4\). На ней \(\sqrt{x - 4} \geqslant 0\), поэтому произведение \((x + 10)\sqrt{x - 4}\) не превосходит нуля либо когда \(\sqrt{x - 4} = 0\), либо когда \(\sqrt{x - 4} > 0\) и множитель \(x + 10\) не превосходит нуля. Значит, данное неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} x - 4 = 0, \\ \begin{cases}x - 4 > 0,\\ x + 10 \leqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = 4\). Система: \(\begin{cases}x > 4,\\ x \leqslant -10;\end{cases}\) решений не имеет.
Значит, данному неравенству удовлетворяет только \(x = 4\).
2) Область определения неравенства задаётся условием \((4 - x)(5 - x) \geqslant 0\). Рассуждая так же, получаем, что данное неравенство равносильно совокупности \[\left[\begin{array}{l} (4 - x)(5 - x) = 0, \\ \begin{cases}(4 - x)(5 - x) > 0,\\ x + 2 \geqslant 0.\end{cases} \end{array}\right.\] Уравнение совокупности даёт \(x = 4\) и \(x = 5\).
Система: \(\begin{cases}(x - 4)(x - 5) > 0,\\ x \geqslant -2;\end{cases}\) \(\begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant -2;\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x < 4, \\ x > 5. \end{array}\right.\)
Объединяя найденные решения, получаем \(-2 \leqslant x \leqslant 4\) или \(x \geqslant 5\).
Ответ: 1) \(x = 4\); 2) \([-2;\ 4] \cup [5;\ +\infty)\).
