Страница 126 номер 16.2, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \geqslant \sqrt{x^2 + 4x}\); 2) \(\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}\).
1) Равносильная система:
\[\begin{gathered} \begin{cases}2x^2 + 6x - 3 \geqslant x^2 + 4x,\\ x^2 + 4x \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 3 \geqslant 0,\\ x(x + 4) \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 1, \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 0; \end{array}\right.\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) Неравенство \(\sqrt{x - 2} > \sqrt{x^2 + 3x - 10}\) равносильно системе
\[\begin{gathered} \begin{cases}x - 2 > x^2 + 3x - 10,\\ x^2 + 3x - 10 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 8 < 0,\\ (x + 5)(x - 2) \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}-4 < x < 2,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ x \geqslant 2. \end{array}\right.\end{cases} \end{gathered}\]
Общих чисел у этих условий нет, поэтому система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4] \cup [1;\ +\infty)\); 2) \(\varnothing\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \geqslant \sqrt{x^2 + 4x}\); 2) \(\sqrt{x^2 + 3x - 10} < \sqrt{x - 2}\).
1) Данное неравенство равносильно системе
\[\begin{gathered} \begin{cases}2x^2 + 6x - 3 \geqslant x^2 + 4x,\\ x^2 + 4x \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 3 \geqslant 0,\\ x(x + 4) \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\]
Отсюда
\[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 1, \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 0; \end{array}\right.\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) Данное неравенство запишем в виде \(\sqrt{x - 2} > \sqrt{x^2 + 3x - 10}\). Оно равносильно системе
\[\begin{gathered} \begin{cases}x - 2 > x^2 + 3x - 10,\\ x^2 + 3x - 10 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 8 < 0,\\ (x + 5)(x - 2) \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\]
Отсюда
\[\begin{cases}-4 < x < 2,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ x \geqslant 2. \end{array}\right.\end{cases}\]
Общих чисел у этих условий нет, поэтому система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.
Ответ: 1) \((-\infty;\ -4] \cup [1;\ +\infty)\); 2) \(\varnothing\).
