Страница 127 номер 16.14, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство \(\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8} < 4\).
ОДЗ: \(x^3 + 8 \geqslant 0\), то есть \(x^3 \geqslant -8\); функция \(y = x^3\) возрастающая, поэтому это равносильно условию \(x \geqslant -2\).
Функция \(y = \sqrt[3]{x - 2}\) возрастающая. Функция \(y = x^3 + 8\) возрастающая и на промежутке \([-2;\ +\infty)\) неотрицательна, а функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, поэтому возрастает и \(y = \sqrt{x^3 + 8}\). Сумма возрастающих функций возрастает, значит, \(y = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8}\) возрастает на промежутке \([-2;\ +\infty)\).
При \(x = 2\) значение функции равно \(\sqrt[3]{0} + \sqrt{8 + 8} = 0 + 4 = 4\); так как функция возрастающая, при \(-2 \leqslant x < 2\) её значения меньше 4, а при \(x > 2\) — больше 4. Значит, данному неравенству удовлетворяют в точности числа \(-2 \leqslant x < 2\).
Ответ: \([-2;\ 2)\).
Решите неравенство \(\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8} < 4\).
Область определения неравенства задаётся условием \(x^3 + 8 \geqslant 0\), то есть \(x^3 \geqslant -8\). Функция \(y = x^3\) возрастающая, поэтому это равносильно условию \(x \geqslant -2\).
Рассмотрим функцию \(y = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8}\), областью определения которой является промежуток \([-2;\ +\infty)\).
Функция \(y = \sqrt[3]{x - 2}\) возрастающая: из \(x_1 < x_2\) следует \(x_1 - 2 < x_2 - 2\), а функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая.
Функция \(y = x^3 + 8\) возрастающая и на промежутке \([-2;\ +\infty)\) принимает неотрицательные значения, а функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, поэтому функция \(y = \sqrt{x^3 + 8}\) возрастает на промежутке \([-2;\ +\infty)\).
Сумма возрастающих функций — возрастающая функция, поэтому \(y = \sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x^3 + 8}\) возрастает на промежутке \([-2;\ +\infty)\).
При \(x = 2\) значение функции равно \(\sqrt[3]{0} + \sqrt{8 + 8} = 0 + 4 = 4\). Так как функция возрастающая, при \(-2 \leqslant x < 2\) её значения меньше 4, а при \(x > 2\) — больше 4. Значит, данному неравенству удовлетворяют в точности числа \(-2 \leqslant x < 2\).
Ответ: \([-2;\ 2)\).
