Страница 127 номер 16.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Область определения неравенства задаётся условием \(1 - (x + 2a)^2 \geqslant 0\), то есть \((x + 2a)^2 \leqslant 1\); \(-1 \leqslant x + 2a \leqslant 1\); \(-1 - 2a \leqslant x \leqslant 1 - 2a\). Это отрезок длиной 2.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:
\[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x < 0,\\ 1 - (x + 2a)^2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x \geqslant 0,\\ 1 - (x + 2a)^2 \geqslant \frac{16}{9}x^2.\end{cases} \end{array}\right.\]
Умножим второе неравенство второй системы на 9: \(9 - 9(x + 2a)^2 \geqslant 16x^2\); \(9 - 9x^2 - 36ax - 36a^2 \geqslant 16x^2\); \(25x^2 + 36ax + 36a^2 - 9 \leqslant 0\). Обозначим \(g(x) = 25x^2 + 36ax + 36a^2 - 9\). Так как \(g(x) = 16x^2 - 9\left(1 - (x + 2a)^2\right)\), из \(g(x) \leqslant 0\) следует \(1 - (x + 2a)^2 \geqslant 0\), то есть решения второй системы автоматически принадлежат области определения.

Рассмотрим три случая.

Если \(a \geqslant \frac{1}{2}\), то \(1 - 2a \leqslant 0\) и все числа области определения неположительны. Тогда правая часть \(\frac{4}{3}x\) неположительна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство верно на всей области определения. Множество решений — отрезок длиной 2, что условию не удовлетворяет.

Если \(a \leqslant -\frac{1}{2}\), то \(-1 - 2a \geqslant 0\) и все числа области определения неотрицательны. Тогда первая система решений не имеет, и множеством решений является множество решений неравенства \(g(x) \leqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(g\) равен \(D = 1296a^2 - 100\left(36a^2 - 9\right) = 900 - 2304a^2 \leqslant 900\). Если \(D < 0\), то \(g(x) > 0\) при всех \(x\) и решений нет вовсе. Если же \(D \geqslant 0\), то корни трёхчлена \(g\) равны \(\frac{-36a \pm \sqrt{D}}{50}\), и множеством решений является отрезок между ними, длина которого равна \(\frac{\sqrt{D}}{25} \leqslant \frac{30}{25} = \frac{6}{5}\). Так как \(\frac{6}{5} < \frac{9}{5}\), промежутка нужной длины не получается.

Если \(-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}\), то \(-1 - 2a < 0 < 1 - 2a\), то есть нуль лежит внутри области определения. Первая система даёт промежуток \(-1 - 2a \leqslant x < 0\). Далее, \(g(0) = 36a^2 - 9 = 9\left(4a^2 - 1\right) < 0\), а старший коэффициент трёхчлена \(g\) положителен, поэтому нуль лежит между корнями \(x_1\) и \(x_2\) этого трёхчлена, причём \(x_1 < 0 < x_2\), и вторая система даёт промежуток \(0 \leqslant x \leqslant x_2\). Объединяя, получаем отрезок \([-1 - 2a;\ x_2]\) длиной \(x_2 + 1 + 2a\).

Из условия \(x_2 + 1 + 2a = \frac{9}{5}\) получаем \(x_2 = \frac{4}{5} - 2a\). Число \(x_2\) — корень трёхчлена \(g\), поэтому
\[25\left(\frac{4}{5} - 2a\right)^2 + 36a\left(\frac{4}{5} - 2a\right) + 36a^2 - 9 = 0.\]
Отсюда \(16 - 80a + 100a^2 + \frac{144}{5}a - 72a^2 + 36a^2 - 9 = 0\); \(64a^2 - \frac{256}{5}a + 7 = 0\); \(320a^2 - 256a + 35 = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = 65\,536 - 44\,800 = 20\,736\), \(\sqrt{D} = 144\), откуда \(a = \frac{256 \pm 144}{640}\), то есть \(a = \frac{5}{8}\) или \(a = \frac{7}{40}\). Условию \(-\frac{1}{2} < a < \frac{1}{2}\) удовлетворяет только \(a = \frac{7}{40}\).

При \(a = \frac{7}{40}\) область определения — отрезок \([-1{,}35;\ 0{,}65]\), а \(x_2 = \frac{4}{5} - \frac{7}{20} = 0{,}45\), то есть множеством решений является отрезок \([-1{,}35;\ 0{,}45]\) длиной \(1{,}8 = \frac{9}{5}\).

Ответ: \(a = \frac{7}{40}\).