Страница 134 номер 17.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \(P_0(1;\ 0)\), чтобы получить точку: 1) \(P_1(0;\ -1)\); 2) \(P_2\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\); 3) \(P_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
1) Точку \(P_1(0;\ -1)\) даёт поворот на угол \(-\frac{\pi}{2}\) (четверть оборота по часовой стрелке); все искомые углы: \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\) — точка \(P_2\) лежит на единичной окружности, в I четверти.
\(H\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\) — основание перпендикуляра из точки \(P_2\) на ось абсцисс; \(H\) лежит на луче \(OP_0\). В прямоугольном треугольнике \(OHP_2\) катет \(OH = \frac{1}{2}\) равен половине гипотенузы \(OP_2 = 1\), поэтому противолежащий ему угол \(OP_2H\) равен \(30^\circ\), а угол \(HOP_2\) равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\), то есть \(\frac{\pi}{3}\).
Точка \(P_2\) выше оси абсцисс, поэтому это поворот против часовой стрелки на угол \(\frac{\pi}{3}\); все искомые углы: \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
3) \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1\) — точка \(P_3\) лежит на единичной окружности, в III четверти.
\(H\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ 0\right)\) — основание перпендикуляра из точки \(P_3\) на ось абсцисс; \(H\) лежит на отрицательной полуоси абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(OHP_3\) катеты \(OH\) и \(HP_3\) равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), он равнобедренный, и угол \(HOP_3\) равен \(45^\circ\), то есть \(\frac{\pi}{4}\).
Точки \(P_0\) и \(H\) лежат по разные стороны от точки \(O\), поэтому углы \(P_0OP_3\) и \(HOP_3\) смежные: угол \(P_0OP_3\) равен \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).
Точка \(P_3\) ниже оси абсцисс, поэтому это поворот по часовой стрелке на \(\frac{3\pi}{4}\), то есть на угол \(-\frac{3\pi}{4}\); все искомые углы: \(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку \(P_0(1;\ 0)\), чтобы получить точку: 1) \(P_1(0;\ -1)\); 2) \(P_2\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\); 3) \(P_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Если поворот на угол \(\alpha\) переводит точку \(P_0\) в точку \(P\), то в ту же точку её переводят повороты на все углы \(\alpha + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и только на них. Поэтому достаточно найти один такой угол.
1) Точка \(P_1(0;\ -1)\) получается поворотом точки \(P_0\) на угол \(-\frac{\pi}{2}\) (четверть оборота по часовой стрелке). Все искомые углы: \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
2) Точка \(P_2\left(\frac{1}{2};\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\), и находится в I четверти. Пусть \(H\left(\frac{1}{2};\ 0\right)\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(P_2\) на ось абсцисс; точка \(H\) лежит на луче \(OP_0\). В прямоугольном треугольнике \(OHP_2\) катет \(OH = \frac{1}{2}\) равен половине гипотенузы \(OP_2 = 1\), поэтому противолежащий ему угол \(OP_2H\) равен \(30^\circ\), а угол \(HOP_2\) равен \(90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\), то есть \(\frac{\pi}{3}\). Точка \(P_2\) лежит выше оси абсцисс, поэтому она получается поворотом точки \(P_0\) против часовой стрелки на угол \(\frac{\pi}{3}\). Все искомые углы: \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
3) Точка \(P_3\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\) лежит на единичной окружности, так как \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1\), и находится в III четверти. Пусть \(H\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\ 0\right)\) — основание перпендикуляра, опущенного из точки \(P_3\) на ось абсцисс; точка \(H\) лежит на отрицательной полуоси абсцисс. В прямоугольном треугольнике \(OHP_3\) катеты \(OH\) и \(HP_3\) равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поэтому он равнобедренный и угол \(HOP_3\) равен \(45^\circ\), то есть \(\frac{\pi}{4}\). Точки \(P_0\) и \(H\) лежат на оси абсцисс по разные стороны от точки \(O\), поэтому углы \(P_0OP_3\) и \(HOP_3\) смежные и угол \(P_0OP_3\) равен \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\). Точка \(P_3\) лежит ниже оси абсцисс, поэтому она получается поворотом точки \(P_0\) по часовой стрелке на \(\frac{3\pi}{4}\), то есть на угол \(-\frac{3\pi}{4}\). Все искомые углы: \(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
Ответ: 1) \(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); 3) \(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\).
