Страница 122 номер 15.22, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3\).
Так как \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) при всех \(x\), ОДЗ: \(x^2 + 3x - 2 \geqslant 0\); кроме того, левая часть уравнения неотрицательна, поэтому \(4x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{3}{4}\).
Умножим обе части на \(\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1}\); так как \(\left(x^2 + 3x - 2\right) - \left(x^2 - x + 1\right) = 4x - 3\), получим уравнение-следствие \(4x - 3 = (4x - 3)\left(\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1}\right)\), равносильное совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} 4x - 3 = 0, \\ \sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1. \end{array}\right.\]
Сложив второе уравнение совокупности с исходным, а затем вычтя его из исходного, получаем систему:
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x - 1, \\ \sqrt{x^2 - x + 1} = 2x - 2; \end{cases} \\ \begin{cases} 2x - 1 \geqslant 0, \\ x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)^2, \\ 2x - 2 \geqslant 0, \\ x^2 - x + 1 = (2x - 2)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Оба уравнения приводятся к одному и тому же виду \(3x^2 - 7x + 3 = 0\), поэтому система равносильна такой:
\[\begin{cases} x \geqslant 1, \\ 3x^2 - 7x + 3 = 0. \end{cases}\]
\(D = 49 - 36 = 13\); \(x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}\). Так как \(\sqrt{13} > 1\), то \(\frac{7 - \sqrt{13}}{6} < 1\), а из неравенства \(\sqrt{13} > 3\) следует, что \(\frac{7 + \sqrt{13}}{6} > \frac{10}{6} > 1\); условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяет только \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}\).
Число \(\frac{3}{4}\) из первого уравнения совокупности корнем не является: при \(x = \frac{3}{4}\) правая часть исходного уравнения равна нулю, а левая положительна.
Ответ: \(\frac{7 + \sqrt{13}}{6}\).
Решите уравнение \(\sqrt{x^2 + 3x - 2} + \sqrt{x^2 - x + 1} = 4x - 3\).
Так как \(x^2 - x + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0\) при всех \(x\), уравнение имеет смысл при \(x^2 + 3x - 2 \geqslant 0\). Кроме того, левая часть уравнения неотрицательна, поэтому \(4x - 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant \frac{3}{4}\).
Умножим обе части уравнения на выражение \(\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1}\). Так как \(\left(x^2 + 3x - 2\right) - \left(x^2 - x + 1\right) = 4x - 3\), получим уравнение-следствие:
\[4x - 3 = (4x - 3)\left(\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1}\right).\]
Это уравнение равносильно совокупности:
\[\left[\begin{array}{l} 4x - 3 = 0, \\ \sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1. \end{array}\right.\]
Сложим почленно исходное уравнение и уравнение \(\sqrt{x^2 + 3x - 2} - \sqrt{x^2 - x + 1} = 1\), а затем вычтем из исходного уравнения это же уравнение. Получим систему:
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 2} = 2x - 1, \\ \sqrt{x^2 - x + 1} = 2x - 2; \end{cases} \\ \begin{cases} 2x - 1 \geqslant 0, \\ x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)^2, \\ 2x - 2 \geqslant 0, \\ x^2 - x + 1 = (2x - 2)^2. \end{cases} \end{gathered}\]
Оба уравнения системы приводятся к одному и тому же виду: из \(x^2 + 3x - 2 = 4x^2 - 4x + 1\) следует \(3x^2 - 7x + 3 = 0\), и из \(x^2 - x + 1 = 4x^2 - 8x + 4\) следует \(3x^2 - 7x + 3 = 0\). Значит, система равносильна такой:
\[\begin{cases} x \geqslant 1, \\ 3x^2 - 7x + 3 = 0. \end{cases}\]
\(D = 49 - 36 = 13\); \(x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{6}\). Так как \(\sqrt{13} > 1\), то \(\frac{7 - \sqrt{13}}{6} < 1\), а из неравенства \(\sqrt{13} > 3\) следует, что \(\frac{7 + \sqrt{13}}{6} > \frac{10}{6} > 1\). Условию \(x \geqslant 1\) удовлетворяет только \(x = \frac{7 + \sqrt{13}}{6}\).
Осталось проверить число \(\frac{3}{4}\), полученное из первого уравнения совокупности. При \(x = \frac{3}{4}\) правая часть исходного уравнения равна нулю, а левая положительна, поэтому корнем это число не является.
Ответ: \(\frac{7 + \sqrt{13}}{6}\).
