Страница 134 номер 17.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Докажите, что площадь сектора, содержащего дугу в \(\alpha\) рад, можно вычислить по формуле \(S = \frac{\alpha R^2}{2}\), где \(R\) — радиус окружности.
Площадь сектора круга радиуса \(R\), содержащего дугу в \(n^\circ\), равна \(\frac{\pi R^2 n}{360}\); один радиан составляет \(\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\), поэтому дуга в \(\alpha\) рад содержит \(n = \frac{180\alpha}{\pi}\) градусов: \[S = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \frac{180\alpha}{\pi} = \frac{\alpha R^2}{2}.\]
Ответ: площадь сектора, содержащего дугу в \(\alpha\) рад, равна \(S = \frac{\alpha R^2}{2}\), где \(R\) — радиус окружности.
Докажите, что площадь сектора, содержащего дугу в \(\alpha\) рад, можно вычислить по формуле \(S = \frac{\alpha R^2}{2}\), где \(R\) — радиус окружности.
Из курса геометрии известно: площадь сектора круга радиуса \(R\), содержащего дугу в \(n^\circ\), равна \(\frac{\pi R^2 n}{360}\).
Так как \(\pi\) рад равно \(180^\circ\), один радиан составляет \(\left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ\), поэтому дуга в \(\alpha\) рад содержит \(n = \frac{180\alpha}{\pi}\) градусов. Подставим это значение \(n\) в формулу площади сектора: \[S = \frac{\pi R^2}{360} \cdot \frac{180\alpha}{\pi} = \frac{\alpha R^2}{2}.\] Что и требовалось доказать.
Ответ: площадь сектора, содержащего дугу в \(\alpha\) рад, равна \(S = \frac{\alpha R^2}{2}\), где \(R\) — радиус окружности.
