Страница 121 номер 15.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[4]{18 + 5x} + \sqrt[4]{64 - 5x} = 4\).
ОДЗ: \(18 + 5x \geqslant 0\) и \(64 - 5x \geqslant 0\), то есть \(-3{,}6 \leqslant x \leqslant 12{,}8\).
Пусть \(\sqrt[4]{18 + 5x} = a\), \(\sqrt[4]{64 - 5x} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); тогда \(a^4 + b^4 = (18 + 5x) + (64 - 5x) = 82\), а уравнение принимает вид \(a + b = 4\).
Обозначим \(ab = p\); тогда \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 16 - 2p\) и
\[a^4 + b^4 = \left(a^2 + b^2\right)^2 - 2a^2b^2 = (16 - 2p)^2 - 2p^2 = 2p^2 - 64p + 256.\]
Отсюда \(2p^2 - 64p + 256 = 82\); \(p^2 - 32p + 87 = 0\); \(D = 1024 - 348 = 676\); \(p = \frac{32 \pm 26}{2}\), то есть \(p = 29\) или \(p = 3\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 4z + p = 0\). При \(p = 29\) его дискриминант равен \(16 - 116 = -100\) — действительных корней нет. При \(p = 3\): \(z^2 - 4z + 3 = 0\); \(z = 1\) или \(z = 3\).
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[4]{18 + 5x} = 1, \\ \sqrt[4]{64 - 5x} = 3, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[4]{18 + 5x} = 3, \\ \sqrt[4]{64 - 5x} = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} 18 + 5x = 1, \\ 64 - 5x = 81, \end{cases} \\ \begin{cases} 18 + 5x = 81, \\ 64 - 5x = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -\frac{17}{5}, \\ x = \frac{63}{5}. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Оба значения принадлежат области определения.
Ответ: \(-\frac{17}{5}\); \(\frac{63}{5}\).
Решите уравнение \(\sqrt[4]{18 + 5x} + \sqrt[4]{64 - 5x} = 4\).
Уравнение имеет смысл при \(18 + 5x \geqslant 0\) и \(64 - 5x \geqslant 0\), то есть при \(-3{,}6 \leqslant x \leqslant 12{,}8\).
Пусть \(\sqrt[4]{18 + 5x} = a\), \(\sqrt[4]{64 - 5x} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(a^4 + b^4 = (18 + 5x) + (64 - 5x) = 82\), а данное уравнение принимает вид \(a + b = 4\). Имеем:
\[\begin{cases} a + b = 4, \\ a^4 + b^4 = 82. \end{cases}\]
Обозначим \(ab = p\). Тогда \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 16 - 2p\) и
\[a^4 + b^4 = \left(a^2 + b^2\right)^2 - 2a^2b^2 = (16 - 2p)^2 - 2p^2 = 2p^2 - 64p + 256.\]
Второе уравнение системы даёт \(2p^2 - 64p + 256 = 82\); \(p^2 - 32p + 87 = 0\); \(D = 1024 - 348 = 676\); \(p = \frac{32 \pm 26}{2}\), то есть \(p = 29\) или \(p = 3\).
Числа \(a\) и \(b\) — корни уравнения \(z^2 - 4z + p = 0\). При \(p = 29\) его дискриминант равен \(16 - 116 = -100\), то есть действительных корней нет. При \(p = 3\) получаем \(z^2 - 4z + 3 = 0\); \(z = 1\) или \(z = 3\). Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[4]{18 + 5x} = 1, \\ \sqrt[4]{64 - 5x} = 3, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[4]{18 + 5x} = 3, \\ \sqrt[4]{64 - 5x} = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} 18 + 5x = 1, \\ 64 - 5x = 81, \end{cases} \\ \begin{cases} 18 + 5x = 81, \\ 64 - 5x = 1; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = -\frac{17}{5}, \\ x = \frac{63}{5}. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Оба значения принадлежат области определения уравнения.
Ответ: \(-\frac{17}{5}\); \(\frac{63}{5}\).
