Страница 126 номер 16.4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{9x - 20} < x\); 2) \(\sqrt{x + 61} < x + 5\); 3) \(2\sqrt{4 - x^2} \leqslant x + 4\); 4) \(\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3\).
1) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}9x - 20 < x^2,\\ x > 0,\\ 9x - 20 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 9x + 20 > 0,\\ x > 0,\\ x \geqslant \frac{20}{9};\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant \frac{20}{9};\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} \frac{20}{9} \leqslant x < 4, \\ x > 5. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 61 < (x + 5)^2,\\ x + 5 > 0,\\ x + 61 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 9x - 36 > 0,\\ x > -5,\\ x \geqslant -61.\end{cases} \end{gathered}\] Уравнение \(x^2 + 9x - 36 = 0\) имеет корни \(x = -12\) и \(x = 3\), поэтому \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -12, \\ x > 3, \end{array}\right. \\ x > -5;\end{cases} \\ x > 3. \end{gathered}\]
3) Разделив обе части на положительное число 2, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{4 - x^2} \leqslant \frac{x + 4}{2}\), а оно равносильно системе \[\begin{cases}4 - x^2 \leqslant \frac{(x + 4)^2}{4},\\ \frac{x + 4}{2} \geqslant 0,\\ 4 - x^2 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство: \(16 - 4x^2 \leqslant x^2 + 8x + 16\); \(5x^2 + 8x \geqslant 0\); \(x(5x + 8) \geqslant 0\). Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1{,}6, \\ x \geqslant 0, \end{array}\right. \\ x \geqslant -4,\\ -2 \leqslant x \leqslant 2;\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x \leqslant -1{,}6, \\ 0 \leqslant x \leqslant 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
4) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2,\\ x - 3 > 0,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}10x < 14,\\ x > 3,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\] Условия \(x < 1{,}4\) и \(x > 3\) одновременно выполняться не могут, поэтому система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.
Ответ: 1) \(\left[\frac{20}{9};\ 4\right) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((3;\ +\infty)\); 3) \([-2;\ -1{,}6] \cup [0;\ 2]\); 4) \(\varnothing\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{9x - 20} < x\); 2) \(\sqrt{x + 61} < x + 5\); 3) \(2\sqrt{4 - x^2} \leqslant x + 4\); 4) \(\sqrt{x^2 + 4x - 5} < x - 3\).
1) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}9x - 20 < x^2,\\ x > 0,\\ 9x - 20 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 9x + 20 > 0,\\ x > 0,\\ x \geqslant \frac{20}{9}.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x \geqslant \frac{20}{9};\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} \frac{20}{9} \leqslant x < 4, \\ x > 5. \end{array}\right. \end{gathered}\]
2) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 61 < (x + 5)^2,\\ x + 5 > 0,\\ x + 61 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 9x - 36 > 0,\\ x > -5,\\ x \geqslant -61.\end{cases} \end{gathered}\] Уравнение \(x^2 + 9x - 36 = 0\) имеет корни \(x = -12\) и \(x = 3\). Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -12, \\ x > 3, \end{array}\right. \\ x > -5;\end{cases} \\ x > 3. \end{gathered}\]
3) Разделив обе части данного неравенства на положительное число 2, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{4 - x^2} \leqslant \frac{x + 4}{2}\), которое равносильно системе \[\begin{cases}4 - x^2 \leqslant \frac{(x + 4)^2}{4},\\ \frac{x + 4}{2} \geqslant 0,\\ 4 - x^2 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство системы: \(16 - 4x^2 \leqslant x^2 + 8x + 16\); \(5x^2 + 8x \geqslant 0\); \(x(5x + 8) \geqslant 0\). Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -1{,}6, \\ x \geqslant 0, \end{array}\right. \\ x \geqslant -4,\\ -2 \leqslant x \leqslant 2;\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} -2 \leqslant x \leqslant -1{,}6, \\ 0 \leqslant x \leqslant 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
4) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 + 4x - 5 < (x - 3)^2,\\ x - 3 > 0,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}10x < 14,\\ x > 3,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\] Условия \(x < 1{,}4\) и \(x > 3\) одновременно выполняться не могут, поэтому система, а значит, и данное неравенство решений не имеют.
Ответ: 1) \(\left[\frac{20}{9};\ 4\right) \cup (5;\ +\infty)\); 2) \((3;\ +\infty)\); 3) \([-2;\ -1{,}6] \cup [0;\ 2]\); 4) \(\varnothing\).
