Вопросы после параграфа §16 на странице 125, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начало математического анализа
Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.
Два уравнения (два неравенства) равносильны, если множества их решений равны; равносильный переход — замена уравнения или неравенства более простым с тем же множеством решений.
Равносильные переходы для иррациональных уравнений.
Уравнения \(f(x) = g(x)\) и \((f(x))^{2k + 1} = (g(x))^{2k + 1}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны.
Уравнение \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(\begin{cases}f(x) = g(x),\\ f(x) \geqslant 0;\end{cases}\) вместо условия \(f(x) \geqslant 0\) можно записать \(g(x) \geqslant 0\) — берут то, которое решается проще.
Уравнение \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases}f(x) = (g(x))^2,\\ g(x) \geqslant 0.\end{cases}\)
Если \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\) при любом \(x \in M\), то уравнения \(f(x) = g(x)\) и \((f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на \(M\); без такого условия возведение в чётную степень даёт лишь уравнение-следствие и нужна проверка корней.
Равносильные переходы для иррациональных неравенств.
Прибавление к обеим частям неравенства (вычитание из обеих частей) одного и того же числа и умножение (деление) обеих частей на одно и то же положительное число дают неравенство, равносильное данному; при умножении (делении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
Неравенство \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(\begin{cases}f(x) > g(x),\\ g(x) \geqslant 0.\end{cases}\)
Неравенство \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе \(\begin{cases}f(x) < (g(x))^2,\\ g(x) > 0,\\ f(x) \geqslant 0.\end{cases}\)
Неравенство \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) равносильно совокупности двух систем \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}g(x) < 0,\\ f(x) \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}g(x) \geqslant 0,\\ f(x) > (g(x))^2.\end{cases} \end{array}\right.\]
Если \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\) при любом \(x \in M\), то неравенства \(f(x) > g(x)\) и \((f(x))^{2k} > (g(x))^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на \(M\).
Для нестрогих знаков \(\geqslant\) и \(\leqslant\) соответствующие знаки неравенств в этих переходах меняются на нестрогие.
Ответ: для уравнений — возведение обеих частей в нечётную степень даёт равносильное уравнение; \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(f(x) = g(x)\), \(f(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \(f(x) = (g(x))^2\), \(g(x) \geqslant 0\); на множестве, где обе части неотрицательны, равносильно и возведение в чётную степень. Для неравенств — прибавление к обеим частям одного и того же числа, умножение обеих частей на положительное число, умножение на отрицательное число со сменой знака неравенства; \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(f(x) > g(x)\), \(g(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе \(f(x) < (g(x))^2\), \(g(x) > 0\), \(f(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) равносильно совокупности систем \(g(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), \(f(x) > (g(x))^2\); на множестве, где обе части неотрицательны, равносильно возведение обеих частей в чётную степень.
Сформулируйте теоремы о равносильных переходах при решении иррациональных уравнений.
Два уравнения (два неравенства) называют равносильными, если множества их решений равны. Равносильный переход — это замена уравнения или неравенства более простым, у которого множество решений то же самое.
Равносильные переходы для иррациональных уравнений.
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному: уравнения \(f(x) = g(x)\) и \((f(x))^{2k + 1} = (g(x))^{2k + 1}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны.
Уравнение вида \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \[\begin{cases}f(x) = g(x),\\ f(x) \geqslant 0.\end{cases}\] Вместо условия \(f(x) \geqslant 0\) можно записать условие \(g(x) \geqslant 0\) — берут то из них, которое решается проще.
Уравнение вида \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \[\begin{cases}f(x) = (g(x))^2,\\ g(x) \geqslant 0.\end{cases}\]
Если для любого \(x \in M\) выполняются неравенства \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), то уравнения \(f(x) = g(x)\) и \((f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на множестве \(M\). Без такого условия возведение обеих частей в чётную степень даёт лишь уравнение-следствие, и тогда обязательна проверка найденных корней.
Равносильные переходы для иррациональных неравенств.
Если к обеим частям неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному. Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Неравенство вида \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \[\begin{cases}f(x) > g(x),\\ g(x) \geqslant 0.\end{cases}\]
Неравенство вида \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе \[\begin{cases}f(x) < (g(x))^2,\\ g(x) > 0,\\ f(x) \geqslant 0.\end{cases}\]
Неравенство вида \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) равносильно совокупности двух систем \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}g(x) < 0,\\ f(x) \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}g(x) \geqslant 0,\\ f(x) > (g(x))^2.\end{cases} \end{array}\right.\]
Если для любого \(x \in M\) выполняются неравенства \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), то неравенства \(f(x) > g(x)\) и \((f(x))^{2k} > (g(x))^{2k}\), где \(k \in \mathbf{N}\), равносильны на множестве \(M\).
Для нестрогих знаков \(\geqslant\) и \(\leqslant\) в этих переходах соответствующие знаки неравенств меняются на нестрогие.
Ответ: для уравнений — возведение обеих частей в нечётную степень даёт равносильное уравнение; \(\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(f(x) = g(x)\), \(f(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} = g(x)\) равносильно системе \(f(x) = (g(x))^2\), \(g(x) \geqslant 0\); на множестве, где обе части неотрицательны, равносильно и возведение в чётную степень. Для неравенств — прибавление к обеим частям одного и того же числа, умножение обеих частей на положительное число, умножение на отрицательное число со сменой знака неравенства; \(\sqrt{f(x)} > \sqrt{g(x)}\) равносильно системе \(f(x) > g(x)\), \(g(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} < g(x)\) равносильно системе \(f(x) < (g(x))^2\), \(g(x) > 0\), \(f(x) \geqslant 0\); \(\sqrt{f(x)} > g(x)\) равносильно совокупности систем \(g(x) < 0\), \(f(x) \geqslant 0\) и \(g(x) \geqslant 0\), \(f(x) > (g(x))^2\); на множестве, где обе части неотрицательны, равносильно возведение обеих частей в чётную степень.
