Страница 126 номер 16.11, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(3\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} > 1\); 2) \(\sqrt{x + 3} < \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 2}\).
1) ОДЗ: \(x \geqslant 0\); обозначим \(M = [0;\ +\infty)\).
Запишем неравенство в виде \(3\sqrt{x} > 1 + \sqrt{x + 3}\); обе его части на \(M\) неотрицательны, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \(\left(3\sqrt{x}\right)^2 > \left(1 + \sqrt{x + 3}\right)^2\); \(9x > 1 + 2\sqrt{x + 3} + x + 3\); \(8x - 4 > 2\sqrt{x + 3}\); \(\sqrt{x + 3} < 4x - 2\): \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 3 < (4x - 2)^2,\\ 4x - 2 > 0,\\ x + 3 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}16x^2 - 17x + 1 > 0,\\ x > \frac{1}{2}.\end{cases} \end{gathered}\] Уравнение \(16x^2 - 17x + 1 = 0\) имеет корни \(x = \frac{1}{16}\) и \(x = 1\), поэтому \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < \frac{1}{16}, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{2};\end{cases} \\ x > 1. \end{gathered}\] Все такие числа принадлежат множеству \(M\).
2) ОДЗ: \(\begin{cases}x + 3 \geqslant 0,\\ x - 1 \geqslant 0,\\ x - 2 \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 2\); обозначим \(M = [2;\ +\infty)\).
Обе части неравенства на \(M\) неотрицательны, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \(\left(\sqrt{x + 3}\right)^2 < \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 2}\right)^2\). Так как \(x - 1 \geqslant 0\) и \(x - 2 \geqslant 0\), то \(\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 2} = \sqrt{(x - 1)(x - 2)}\), откуда \(x + 3 < x - 1 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + x - 2\); \(2\sqrt{(x - 1)(x - 2)} > 6 - x\): \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}6 - x < 0,\\ (x - 1)(x - 2) \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}6 - x \geqslant 0,\\ 4(x - 1)(x - 2) > (6 - x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система на множестве \(M\) даёт \(x > 6\).
Во второй системе \(4x^2 - 12x + 8 > x^2 - 12x + 36\); \(3x^2 > 28\); \(x^2 > \frac{28}{3}\); на \(M\) все числа положительны, поэтому это равносильно неравенству \(x > \sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}\), и вторая система даёт \(\frac{2\sqrt{21}}{3} < x \leqslant 6\).
Так как \(\sqrt{21} > 3\), то \(\frac{2\sqrt{21}}{3} > 2\), поэтому объединение решений обеих систем целиком лежит в \(M\) и равно промежутку \(x > \frac{2\sqrt{21}}{3}\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \(\left(\frac{2\sqrt{21}}{3};\ +\infty\right)\).
Решите неравенство: 1) \(3\sqrt{x} - \sqrt{x + 3} > 1\); 2) \(\sqrt{x + 3} < \sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 2}\).
1) Область определения неравенства задаётся условием \(x \geqslant 0\). Обозначим \(M = [0;\ +\infty)\).
Запишем данное неравенство в виде \(3\sqrt{x} > 1 + \sqrt{x + 3}\). Обе его части на множестве \(M\) принимают неотрицательные значения, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \[\left(3\sqrt{x}\right)^2 > \left(1 + \sqrt{x + 3}\right)^2.\] Отсюда \(9x > 1 + 2\sqrt{x + 3} + x + 3\); \(8x - 4 > 2\sqrt{x + 3}\). Разделив обе части на 2, получаем \(\sqrt{x + 3} < 4x - 2\). Последнее неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 3 < (4x - 2)^2,\\ 4x - 2 > 0,\\ x + 3 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}16x^2 - 17x + 1 > 0,\\ x > \frac{1}{2}.\end{cases} \end{gathered}\] Уравнение \(16x^2 - 17x + 1 = 0\) имеет корни \(x = \frac{1}{16}\) и \(x = 1\), поэтому \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < \frac{1}{16}, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ x > \frac{1}{2};\end{cases} \\ x > 1. \end{gathered}\] Все такие числа принадлежат множеству \(M\).
2) Область определения неравенства задаётся системой \(\begin{cases}x + 3 \geqslant 0,\\ x - 1 \geqslant 0,\\ x - 2 \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 2\). Обозначим \(M = [2;\ +\infty)\).
Обе части данного неравенства на множестве \(M\) принимают неотрицательные значения, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \[\left(\sqrt{x + 3}\right)^2 < \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x - 2}\right)^2.\] Так как \(x - 1 \geqslant 0\) и \(x - 2 \geqslant 0\), то \(\sqrt{x - 1} \cdot \sqrt{x - 2} = \sqrt{(x - 1)(x - 2)}\), и отсюда \(x + 3 < x - 1 + 2\sqrt{(x - 1)(x - 2)} + x - 2\); \(2\sqrt{(x - 1)(x - 2)} > 6 - x\). Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}6 - x < 0,\\ (x - 1)(x - 2) \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}6 - x \geqslant 0,\\ 4(x - 1)(x - 2) > (6 - x)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система на множестве \(M\) даёт \(x > 6\).
Во второй системе \(4x^2 - 12x + 8 > x^2 - 12x + 36\); \(3x^2 > 28\); \(x^2 > \frac{28}{3}\). На множестве \(M\) все числа положительны, поэтому это равносильно неравенству \(x > \sqrt{\frac{28}{3}}\), а \(\sqrt{\frac{28}{3}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}\). Тогда вторая система даёт \(\frac{2\sqrt{21}}{3} < x \leqslant 6\).
Так как \(\sqrt{21} > 3\), то \(\frac{2\sqrt{21}}{3} > 2\), поэтому объединение решений обеих систем целиком лежит в \(M\) и равно промежутку \(x > \frac{2\sqrt{21}}{3}\).
Ответ: 1) \((1;\ +\infty)\); 2) \(\left(\frac{2\sqrt{21}}{3};\ +\infty\right)\).
