Страница 121 номер 15.17, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x - 1} = 5\).
ОДЗ: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt[3]{x - 2} = a\), \(\sqrt{x - 1} = b\), \(b \geqslant 0\); тогда \(a^3 = x - 2\), \(b^2 = x - 1\), откуда \(a^3 - b^2 = -1\), а уравнение принимает вид \(a + b = 5\).
Подставим \(a = 5 - b\): \((5 - b)^3 - b^2 = -1\);
\[\begin{gathered} 125 - 75b + 15b^2 - b^3 - b^2 + 1 = 0; \\ -b^3 + 14b^2 - 75b + 126 = 0; \\ b^3 - 14b^2 + 75b - 126 = 0. \end{gathered}\]
\[b^3 - 14b^2 + 75b - 126 = b^2(b - 3) - 11b(b - 3) + 42(b - 3) = (b - 3)\left(b^2 - 11b + 42\right).\]
Дискриминант трёхчлена \(b^2 - 11b + 42\) равен \(121 - 168 = -47\), он отрицателен, поэтому действительных корней трёхчлен не имеет. Значит, \(b = 3\) (условие \(b \geqslant 0\) выполнено), и тогда \(a = 5 - b = 2\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt[3]{x - 2} = 2, \\ \sqrt{x - 1} = 3; \end{cases} \\ \begin{cases} x - 2 = 8, \\ x - 1 = 9; \end{cases} \\ x = 10. \end{gathered}\]
Ответ: 10.
Решите уравнение \(\sqrt[3]{x - 2} + \sqrt{x - 1} = 5\).
Уравнение имеет смысл при \(x - 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt[3]{x - 2} = a\), \(\sqrt{x - 1} = b\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(a^3 = x - 2\), \(b^2 = x - 1\), откуда \(a^3 - b^2 = -1\), а данное уравнение принимает вид \(a + b = 5\). Имеем:
\[\begin{cases} a + b = 5, \\ a^3 - b^2 = -1. \end{cases}\]
Подставим \(a = 5 - b\) во второе уравнение: \((5 - b)^3 - b^2 = -1\);
\[\begin{gathered} 125 - 75b + 15b^2 - b^3 - b^2 + 1 = 0; \\ -b^3 + 14b^2 - 75b + 126 = 0. \end{gathered}\]
Умножив обе части на \(-1\), получаем \(b^3 - 14b^2 + 75b - 126 = 0\).
Разложим левую часть на множители:
\[b^3 - 14b^2 + 75b - 126 = b^2(b - 3) - 11b(b - 3) + 42(b - 3) = (b - 3)\left(b^2 - 11b + 42\right).\]
Дискриминант трёхчлена \(b^2 - 11b + 42\) равен \(121 - 168 = -47\), он отрицателен, поэтому действительных корней этот трёхчлен не имеет. Значит, \(b = 3\); это значение удовлетворяет условию \(b \geqslant 0\), и тогда \(a = 5 - b = 2\). Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt[3]{x - 2} = 2, \\ \sqrt{x - 1} = 3; \end{cases} \\ \begin{cases} x - 2 = 8, \\ x - 1 = 9; \end{cases} \\ x = 10. \end{gathered}\]
Ответ: 10.
