Страница 121 номер 15.18, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[3]{2 - x} = 1 - \sqrt{x - 1}\).
ОДЗ: \(x - 1 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt[3]{2 - x} = a\), \(\sqrt{x - 1} = b\), \(b \geqslant 0\); тогда \(a^3 = 2 - x\), \(b^2 = x - 1\), откуда \(a^3 + b^2 = 1\), а уравнение принимает вид \(a + b = 1\).
Подставим \(a = 1 - b\): \((1 - b)^3 + b^2 = 1\);
\[\begin{gathered} 1 - 3b + 3b^2 - b^3 + b^2 - 1 = 0; \\ -b^3 + 4b^2 - 3b = 0; \\ b\left(b^2 - 4b + 3\right) = 0. \end{gathered}\]
Отсюда \(b = 0\), \(b = 1\) или \(b = 3\); все три значения неотрицательны, и им отвечают \(a = 1\), \(a = 0\), \(a = -2\).
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = 1, \\ \sqrt{x - 1} = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = 0, \\ \sqrt{x - 1} = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = -2, \\ \sqrt{x - 1} = 3; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} 2 - x = 1, \\ x - 1 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} 2 - x = 0, \\ x - 1 = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} 2 - x = -8, \\ x - 1 = 9; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 2, \\ x = 10. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: 1; 2; 10.
Решите уравнение \(\sqrt[3]{2 - x} = 1 - \sqrt{x - 1}\).
Уравнение имеет смысл при \(x - 1 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 1\).
Пусть \(\sqrt[3]{2 - x} = a\), \(\sqrt{x - 1} = b\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(a^3 = 2 - x\), \(b^2 = x - 1\), откуда \(a^3 + b^2 = 1\), а данное уравнение принимает вид \(a = 1 - b\). Имеем:
\[\begin{cases} a + b = 1, \\ a^3 + b^2 = 1. \end{cases}\]
Подставим \(a = 1 - b\) во второе уравнение: \((1 - b)^3 + b^2 = 1\);
\[\begin{gathered} 1 - 3b + 3b^2 - b^3 + b^2 - 1 = 0; \\ -b^3 + 4b^2 - 3b = 0. \end{gathered}\]
Умножив обе части на \(-1\), получаем \(b^3 - 4b^2 + 3b = 0\); \(b\left(b^2 - 4b + 3\right) = 0\).
Отсюда \(b = 0\), \(b = 1\) или \(b = 3\); все три значения неотрицательны, и им отвечают \(a = 1\), \(a = 0\), \(a = -2\). Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \left[\begin{array}{l} \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = 1, \\ \sqrt{x - 1} = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = 0, \\ \sqrt{x - 1} = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} \sqrt[3]{2 - x} = -2, \\ \sqrt{x - 1} = 3; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} \begin{cases} 2 - x = 1, \\ x - 1 = 0, \end{cases} \\ \begin{cases} 2 - x = 0, \\ x - 1 = 1, \end{cases} \\ \begin{cases} 2 - x = -8, \\ x - 1 = 9; \end{cases} \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x = 1, \\ x = 2, \\ x = 10. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: 1; 2; 10.
