Страница 133 номер 17.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, при повороте на которые точки \(P_0(1;\ 0)\) будет получена точка с координатами: 1) \((0;\ 1)\); 2) \((-1;\ 0)\); 3) \((0;\ -1)\); 4) \((1;\ 0)\).
1) Точку \((0;\ 1)\) дают углы \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(k \geqslant 0\) они положительны, наименьший — \(\frac{\pi}{2}\) (при \(k = 0\)); при \(k \leqslant -1\) отрицательны, наибольший — \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) (при \(k = -1\)).
2) Точку \((-1;\ 0)\) дают углы \(\pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(k \geqslant 0\) они положительны, наименьший — \(\pi\); при \(k \leqslant -1\) отрицательны, наибольший — \(\pi - 2\pi = -\pi\).
3) Точку \((0;\ -1)\) дают углы \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): при \(k \geqslant 0\) они положительны, наименьший — \(\frac{3\pi}{2}\); при \(k \leqslant -1\) отрицательны, наибольший — \(\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}\).
4) Точку \((1;\ 0)\) дают углы \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); при \(k = 0\) угол равен нулю — он не положительный и не отрицательный. При \(k \geqslant 1\) углы положительны, наименьший — \(2\pi\); при \(k \leqslant -1\) отрицательны, наибольший — \(-2\pi\).
Ответ: наименьший положительный и наибольший отрицательный углы: 1) \(\frac{\pi}{2}\) и \(-\frac{3\pi}{2}\); 2) \(\pi\) и \(-\pi\); 3) \(\frac{3\pi}{2}\) и \(-\frac{\pi}{2}\); 4) \(2\pi\) и \(-2\pi\).
Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, при повороте на которые точки \(P_0(1;\ 0)\) будет получена точка с координатами: 1) \((0;\ 1)\); 2) \((-1;\ 0)\); 3) \((0;\ -1)\); 4) \((1;\ 0)\).
Если поворот на угол \(\alpha\) переводит точку \(P_0\) в точку \(P\), то в ту же точку её переводят повороты на все углы \(\alpha + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\), и только на них. С ростом \(k\) эти углы возрастают.
1) Точку \((0;\ 1)\) дают углы \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При \(k \geqslant 0\) они положительны, и наименьший из них — \(\frac{\pi}{2}\) (при \(k = 0\)); при \(k \leqslant -1\) они отрицательны, и наибольший из них — \(\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\) (при \(k = -1\)).
2) Точку \((-1;\ 0)\) дают углы \(\pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При \(k \geqslant 0\) они положительны, и наименьший из них — \(\pi\); при \(k \leqslant -1\) они отрицательны, и наибольший из них — \(\pi - 2\pi = -\pi\).
3) Точку \((0;\ -1)\) дают углы \(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При \(k \geqslant 0\) они положительны, и наименьший из них — \(\frac{3\pi}{2}\); при \(k \leqslant -1\) они отрицательны, и наибольший из них — \(\frac{3\pi}{2} - 2\pi = -\frac{\pi}{2}\).
4) Точку \((1;\ 0)\) дают углы \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). При \(k = 0\) угол равен нулю — он не положительный и не отрицательный. При \(k \geqslant 1\) углы положительны, и наименьший из них — \(2\pi\); при \(k \leqslant -1\) они отрицательны, и наибольший из них — \(-2\pi\).
Ответ: наименьший положительный и наибольший отрицательный углы: 1) \(\frac{\pi}{2}\) и \(-\frac{3\pi}{2}\); 2) \(\pi\) и \(-\pi\); 3) \(\frac{3\pi}{2}\) и \(-\frac{\pi}{2}\); 4) \(2\pi\) и \(-2\pi\).
