Страница 134 номер 17.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начала математического анализа
Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \(P_0(1;\ 0)\) на углы: 1) \(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\).
1) \(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2k\) — угол отличается от \(-\frac{\pi}{2}\) на целое число \(2k\) полных оборотов, поэтому все эти углы дают точку \((0;\ -1)\), как поворот на \(-\frac{\pi}{2}\) (четверть оборота по часовой стрелке).
2) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), углы \(\frac{\pi}{2} + 2\pi m\) дают точку \((0;\ 1)\), как поворот на \(\frac{\pi}{2}\).
При нечётном \(k = 2m + 1\) углы \(\frac{\pi}{2} + \pi(2m + 1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m\) дают точку \((0;\ -1)\), как поворот на \(\frac{3\pi}{2}\).
3) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), углы \(2\pi m\) — целое число полных оборотов — дают точку \((1;\ 0)\).
При нечётном \(k = 2m + 1\) углы \(\pi + 2\pi m\) дают точку \((-1;\ 0)\), как поворот на \(\pi\).
Ответ: 1) \((0;\ -1)\); 2) \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\); 3) \((1;\ 0)\) и \((-1;\ 0)\).
Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки \(P_0(1;\ 0)\) на углы: 1) \(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 2) \(\frac{\pi}{2} + \pi k,\ k \in \mathbf{Z}\); 3) \(\pi k,\ k \in \mathbf{Z}\).
Углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, то есть на \(2\pi m\), \(m \in \mathbf{Z}\), дают одну и ту же точку.
1) \(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi \cdot 2k\): каждый такой угол отличается от угла \(-\frac{\pi}{2}\) на целое число \(2k\) полных оборотов. Поэтому все эти углы дают ту же точку, что и поворот на \(-\frac{\pi}{2}\) (четверть оборота по часовой стрелке), — точку \((0;\ -1)\).
2) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем углы \(\frac{\pi}{2} + 2\pi m\) — они дают ту же точку, что и поворот на \(\frac{\pi}{2}\), то есть точку \((0;\ 1)\). При нечётном \(k = 2m + 1\) получаем углы \(\frac{\pi}{2} + \pi(2m + 1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m\) — они дают ту же точку, что и поворот на \(\frac{3\pi}{2}\), то есть точку \((0;\ -1)\).
3) При чётном \(k = 2m\), \(m \in \mathbf{Z}\), получаем углы \(2\pi m\) — целое число полных оборотов, они дают точку \((1;\ 0)\). При нечётном \(k = 2m + 1\) получаем углы \(\pi + 2\pi m\) — они дают ту же точку, что и поворот на \(\pi\), то есть точку \((-1;\ 0)\).
Ответ: 1) \((0;\ -1)\); 2) \((0;\ 1)\) и \((0;\ -1)\); 3) \((1;\ 0)\) и \((-1;\ 0)\).
