Страница 127 номер 16.13, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство \(\sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6} \geqslant 4\).
ОДЗ: \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\) (кубический корень определён при любом подкоренном выражении).
Функция \(y = \sqrt{x + 3}\) возрастающая. Функция \(y = x^3 + x + 6\) возрастающая как сумма возрастающих функций, а функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, поэтому возрастает и \(y = \sqrt[3]{x^3 + x + 6}\). Сумма возрастающих функций возрастает, значит, \(y = \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6}\) возрастает на промежутке \([-3;\ +\infty)\).
При \(x = 1\) значение функции равно \(\sqrt{1 + 3} + \sqrt[3]{1 + 1 + 6} = 2 + 2 = 4\); так как функция возрастающая, при \(x > 1\) её значения больше 4, а при \(-3 \leqslant x < 1\) — меньше 4. Значит, данному неравенству удовлетворяют в точности числа \(x \geqslant 1\).
Ответ: \([1;\ +\infty)\).
Решите неравенство \(\sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6} \geqslant 4\).
Область определения неравенства задаётся условием \(x + 3 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant -3\) (кубический корень определён при любом значении подкоренного выражения).
Рассмотрим функцию \(y = \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6}\), областью определения которой является промежуток \([-3;\ +\infty)\).
Функция \(y = \sqrt{x + 3}\) возрастающая: если \(-3 \leqslant x_1 < x_2\), то \(x_1 + 3 < x_2 + 3\), а так как функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, то \(\sqrt{x_1 + 3} < \sqrt{x_2 + 3}\).
Функция \(y = x^3 + x + 6\) возрастающая как сумма возрастающих функций \(y = x^3\), \(y = x\) и постоянной функции \(y = 6\). Функция \(y = \sqrt[3]{t}\) возрастающая, поэтому и функция \(y = \sqrt[3]{x^3 + x + 6}\) возрастающая: из \(x_1 < x_2\) следует \(x_1^3 + x_1 + 6 < x_2^3 + x_2 + 6\), а значит, \(\sqrt[3]{x_1^3 + x_1 + 6} < \sqrt[3]{x_2^3 + x_2 + 6}\).
Сумма возрастающих функций — возрастающая функция, поэтому \(y = \sqrt{x + 3} + \sqrt[3]{x^3 + x + 6}\) возрастает на промежутке \([-3;\ +\infty)\).
При \(x = 1\) значение функции равно \(\sqrt{1 + 3} + \sqrt[3]{1 + 1 + 6} = 2 + 2 = 4\). Так как функция возрастающая, при \(x > 1\) её значения больше 4, а при \(-3 \leqslant x < 1\) — меньше 4. Значит, данному неравенству удовлетворяют в точности числа \(x \geqslant 1\).
Ответ: \([1;\ +\infty)\).
