Страница 121 номер 15.15, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите уравнение \(\sqrt[4]{x + 8} - \sqrt[4]{x - 8} = 2\).
ОДЗ: \(x - 8 \geqslant 0\), то есть \(x \geqslant 8\) (тогда и \(x + 8 \geqslant 0\)).
Пусть \(\sqrt[4]{x + 8} = a\), \(\sqrt[4]{x - 8} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\); тогда \(a^4 - b^4 = 16\), а уравнение принимает вид \(a - b = 2\).
Подставив \(a = b + 2\): \((b + 2)^4 - b^4 = 16\);
\[\begin{gathered} b^4 + 8b^3 + 24b^2 + 32b + 16 - b^4 = 16; \\ 8b^3 + 24b^2 + 32b = 0; \\ 8b\left(b^2 + 3b + 4\right) = 0. \end{gathered}\]
Так как \(b^2 + 3b + 4 = \left(b + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0\), то \(b = 0\), и тогда \(a = 2\).
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt[4]{x + 8} = 2, \\ \sqrt[4]{x - 8} = 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x + 8 = 16, \\ x - 8 = 0; \end{cases} \\ x = 8. \end{gathered}\]
Ответ: 8.
Решите уравнение \(\sqrt[4]{x + 8} - \sqrt[4]{x - 8} = 2\).
Уравнение имеет смысл при \(x - 8 \geqslant 0\), то есть при \(x \geqslant 8\) (тогда и \(x + 8 \geqslant 0\)).
Пусть \(\sqrt[4]{x + 8} = a\), \(\sqrt[4]{x - 8} = b\), \(a \geqslant 0\), \(b \geqslant 0\). Тогда \(a^4 = x + 8\), \(b^4 = x - 8\), откуда \(a^4 - b^4 = 16\), а данное уравнение принимает вид \(a - b = 2\). Имеем:
\[\begin{cases} a - b = 2, \\ a^4 - b^4 = 16. \end{cases}\]
Подставим \(a = b + 2\) во второе уравнение: \((b + 2)^4 - b^4 = 16\);
\[\begin{gathered} b^4 + 8b^3 + 24b^2 + 32b + 16 - b^4 = 16; \\ 8b^3 + 24b^2 + 32b = 0; \\ 8b\left(b^2 + 3b + 4\right) = 0. \end{gathered}\]
Так как \(b^2 + 3b + 4 = \left(b + \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0\), то \(b = 0\), и тогда \(a = 2\). Теперь можно записать:
\[\begin{gathered} \begin{cases} \sqrt[4]{x + 8} = 2, \\ \sqrt[4]{x - 8} = 0; \end{cases} \\ \begin{cases} x + 8 = 16, \\ x - 8 = 0; \end{cases} \\ x = 8. \end{gathered}\]
Ответ: 8.
