Страница 122 номер 15.19, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа

Уравнение имеет смысл при \(2 - x \geqslant 0\) и \(2 - \sqrt{2 - x} \geqslant 0\). Кроме того, левая часть уравнения неотрицательна, поэтому \(x \geqslant 0\).

Пусть \(\sqrt{2 - x} = y\), \(y \geqslant 0\). Тогда данное уравнение принимает вид \(\sqrt{2 - y} = x\), и получаем систему:

\[\begin{cases} \sqrt{2 - x} = y, \\ \sqrt{2 - y} = x, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0. \end{cases}\]

Обе части каждого из первых двух уравнений неотрицательны, поэтому возведение их в квадрат даёт равносильную систему:

\[\begin{cases} 2 - x = y^2, \\ 2 - y = x^2, \\ x \geqslant 0, \\ y \geqslant 0. \end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе: \(y - x = y^2 - x^2\); \(y - x = (y - x)(y + x)\); \((y - x)(1 - x - y) = 0\). Значит, \(y = x\) или \(x + y = 1\).

Если \(y = x\), то \(2 - x = x^2\); \(x^2 + x - 2 = 0\); \(x = 1\) или \(x = -2\). Условию \(x \geqslant 0\) удовлетворяет только \(x = 1\); при этом \(y = 1 \geqslant 0\).

Если \(x + y = 1\), то \(y = 1 - x\), причём из условий \(x \geqslant 0\) и \(y \geqslant 0\) следует \(0 \leqslant x \leqslant 1\). Подставив это выражение в первое уравнение, получаем \(2 - x = (1 - x)^2\); \(2 - x = 1 - 2x + x^2\); \(x^2 - x - 1 = 0\); \(x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\). Так как \(\sqrt{5} > 2\), то \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > \frac{3}{2}\) и \(\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < -\frac{1}{2}\), то есть ни одно из этих чисел не принадлежит промежутку \([0;\ 1]\).

Следовательно, \(x = 1\).

Ответ: 1.