Страница 125 номер 16.1, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x} < \sqrt{x + 1}\); 2) \(\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}\); 3) \(\sqrt{8 - 5x} \geqslant \sqrt{x^2 - 16}\); 4) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}\).
1) Неравенство \(\sqrt{x + 1} > \sqrt{x}\) равносильно системе \[\begin{cases}x + 1 > x,\\ x \geqslant 0;\end{cases}\] первое неравенство верно при любом \(x\), поэтому остаётся \(x \geqslant 0\).
2) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 - 3x + 1 > 2x - 3,\\ 2x - 3 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 5x + 4 > 0,\\ x \geqslant 1{,}5;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 1, \\ x > 4, \end{array}\right. \\ x \geqslant 1{,}5;\end{cases} \\ x > 4. \end{gathered}\]
3) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}8 - 5x \geqslant x^2 - 16,\\ x^2 - 16 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 5x - 24 \leqslant 0,\\ x^2 - 16 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}-8 \leqslant x \leqslant 3,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 4; \end{array}\right.\end{cases} \\ -8 \leqslant x \leqslant -4. \end{gathered}\]
4) Неравенство \(\sqrt{2x^2 - 3x + 1} > \sqrt{x^2 - 3x + 2}\) равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}2x^2 - 3x + 1 > x^2 - 3x + 2,\\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 1 > 0,\\ (x - 1)(x - 2) \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant 1, \\ x \geqslant 2; \end{array}\right.\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x \geqslant 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: 1) \([0;\ +\infty)\); 2) \((4;\ +\infty)\); 3) \([-8;\ -4]\); 4) \((-\infty;\ -1) \cup [2;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x} < \sqrt{x + 1}\); 2) \(\sqrt{x^2 - 3x + 1} > \sqrt{2x - 3}\); 3) \(\sqrt{8 - 5x} \geqslant \sqrt{x^2 - 16}\); 4) \(\sqrt{x^2 - 3x + 2} < \sqrt{2x^2 - 3x + 1}\).
1) Данное неравенство запишем в виде \(\sqrt{x + 1} > \sqrt{x}\). Оно равносильно системе \[\begin{cases}x + 1 > x,\\ x \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство системы верно при любом \(x\), поэтому система равносильна условию \(x \geqslant 0\).
2) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x^2 - 3x + 1 > 2x - 3,\\ 2x - 3 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 5x + 4 > 0,\\ x \geqslant 1{,}5.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 1, \\ x > 4, \end{array}\right. \\ x \geqslant 1{,}5;\end{cases} \\ x > 4. \end{gathered}\]
3) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}8 - 5x \geqslant x^2 - 16,\\ x^2 - 16 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 5x - 24 \leqslant 0,\\ x^2 - 16 \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}-8 \leqslant x \leqslant 3,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -4, \\ x \geqslant 4; \end{array}\right.\end{cases} \\ -8 \leqslant x \leqslant -4. \end{gathered}\]
4) Данное неравенство запишем в виде \(\sqrt{2x^2 - 3x + 1} > \sqrt{x^2 - 3x + 2}\). Оно равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}2x^2 - 3x + 1 > x^2 - 3x + 2,\\ x^2 - 3x + 2 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - 1 > 0,\\ (x - 1)(x - 2) \geqslant 0.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x > 1, \end{array}\right. \\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant 1, \\ x \geqslant 2; \end{array}\right.\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} x < -1, \\ x \geqslant 2. \end{array}\right. \end{gathered}\]
Ответ: 1) \([0;\ +\infty)\); 2) \((4;\ +\infty)\); 3) \([-8;\ -4]\); 4) \((-\infty;\ -1) \cup [2;\ +\infty)\).
