Страница 126 номер 16.10, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \((x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1\); 2) \(\frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0\); 3) \(\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \leqslant \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}\); 4) \(\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \leqslant 1\).
1) \((x + 1)\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)(x + 1) > 0\); \((x + 1)\left(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1\right) > 0\).
Второй множитель положителен при любом \(x\): неравенство \(\sqrt{x^2 + 1} > x - 1\) равносильно совокупности двух систем \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - 1 < 0,\\ x^2 + 1 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - 1 \geqslant 0,\\ x^2 + 1 > (x - 1)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая даёт \(x < 1\), вторая — \(\begin{cases}x \geqslant 1,\\ 2x > 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 1\); вместе они дают все действительные числа.
Произведение с положительным вторым множителем положительно тогда и только тогда, когда положителен первый, поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\).
2) Запишем неравенство в виде \(\frac{\sqrt{x + 20}}{x} < 1\). ОДЗ: \(x + 20 \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(x \geqslant -20\), \(x \ne 0\).
Если \(-20 \leqslant x < 0\), то \(\sqrt{x + 20} \geqslant 0\), а \(x < 0\), поэтому дробь не больше нуля и неравенство верно — все такие \(x\) решения.
Если \(x > 0\), то умножение обеих частей на положительное число \(x\) даёт равносильное неравенство \(\sqrt{x + 20} < x\): \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 20 < x^2,\\ x > 0,\\ x + 20 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - x - 20 > 0,\\ x > 0;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x > 0;\end{cases} \\ x > 5. \end{gathered}\]
Объединение: \(-20 \leqslant x < 0\) или \(x > 5\).
3) ОДЗ: \(12 - x - x^2 \geqslant 0\), \(x \ne 3{,}5\) и \(x \ne 5\); из \(x^2 + x - 12 \leqslant 0\) получаем \(-4 \leqslant x \leqslant 3\), а числа \(3{,}5\) и 5 этому отрезку не принадлежат. На отрезке \([-4;\ 3]\) имеем \(2x - 7 \leqslant -1 < 0\), \(x - 5 \leqslant -2 < 0\).
Если \(\sqrt{12 - x - x^2} = 0\), то есть \(x = -4\) или \(x = 3\), то обе части равны нулю и неравенство верно.
Если \(-4 < x < 3\), то корень положителен, и деление на него даёт равносильное неравенство \(\frac{1}{2x - 7} \leqslant \frac{1}{x - 5}\); произведение \((2x - 7)(x - 5)\) положительно как произведение двух отрицательных чисел, и умножение обеих частей на него даёт \(x - 5 \leqslant 2x - 7\); \(x \geqslant 2\), то есть \(2 \leqslant x < 3\).
Объединение: отдельное число \(-4\) и отрезок \(2 \leqslant x \leqslant 3\).
4) ОДЗ: \(x^2 + x - 6 \geqslant 0\) и \(x \ne -5\); из \((x + 3)(x - 2) \geqslant 0\) получаем \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 2\), причём \(x \ne -5\).
Вычтем из обеих частей 1: \(\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8}{x + 5} \leqslant 0\).
Если \(x > -5\), то умножение обеих частей на положительное число \(x + 5\) даёт равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 + x - 6} \leqslant -2x - 8\): \[\begin{cases}x^2 + x - 6 \leqslant (2x + 8)^2,\\ -2x - 8 \geqslant 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство: \(x^2 + x - 6 \leqslant 4x^2 + 32x + 64\); \(3x^2 + 31x + 70 \geqslant 0\); \(D = 961 - 840 = 121\), корни \(x = \frac{-31 \pm 11}{6}\), то есть \(x = -7\) и \(x = -\frac{10}{3}\). Второе неравенство даёт \(x \leqslant -4\), но ни одно число промежутка \(-5 < x \leqslant -4\) не удовлетворяет условию «\(x \leqslant -7\) или \(x \geqslant -\frac{10}{3}\)», поэтому в этом случае решений нет.
Если \(x < -5\), то умножение обеих частей на отрицательное число \(x + 5\) со сменой знака неравенства даёт равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 + x - 6} \geqslant -2x - 8\): \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}-2x - 8 < 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}-2x - 8 \geqslant 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant (2x + 8)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система требует \(x > -4\), что противоречит условию \(x < -5\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant -4,\\ 3x^2 + 31x + 70 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant -4,\\ -7 \leqslant x \leqslant -\frac{10}{3};\end{cases}\) \(-7 \leqslant x \leqslant -4\); вместе с условием \(x < -5\) получаем \(-7 \leqslant x < -5\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \([-20;\ 0) \cup (5;\ +\infty)\); 3) \(\{-4\} \cup [2;\ 3]\); 4) \([-7;\ -5)\).
Решите неравенство: 1) \((x + 1)\sqrt{x^2 + 1} > x^2 - 1\); 2) \(\frac{\sqrt{x + 20}}{x} - 1 < 0\); 3) \(\frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{2x - 7} \leqslant \frac{\sqrt{12 - x - x^2}}{x - 5}\); 4) \(\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13}{x + 5} \leqslant 1\).
1) Перенесём правую часть в левую и разложим полученное выражение на множители: \((x + 1)\sqrt{x^2 + 1} - (x - 1)(x + 1) > 0\); \((x + 1)\left(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1\right) > 0\).
Покажем, что второй множитель положителен при любом \(x\). Неравенство \(\sqrt{x^2 + 1} > x - 1\) равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - 1 < 0,\\ x^2 + 1 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - 1 \geqslant 0,\\ x^2 + 1 > (x - 1)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(x < 1\). Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 1,\\ 2x > 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 1\). Вместе они дают все действительные числа, значит, \(\sqrt{x^2 + 1} - x + 1 > 0\) при любом \(x\).
Произведение, второй множитель которого положителен, положительно тогда и только тогда, когда положителен первый множитель. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству \(x + 1 > 0\), то есть \(x > -1\).
2) Данное неравенство запишем в виде \(\frac{\sqrt{x + 20}}{x} < 1\). Область определения задаётся условиями \(x + 20 \geqslant 0\) и \(x \ne 0\), то есть \(x \geqslant -20\), \(x \ne 0\).
Если \(-20 \leqslant x < 0\), то \(\sqrt{x + 20} \geqslant 0\), а \(x < 0\), поэтому дробь не больше нуля и неравенство верно. Все такие значения \(x\) — решения.
Если \(x > 0\), то, умножив обе части на положительное число \(x\), получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x + 20} < x\). Оно равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}x + 20 < x^2,\\ x > 0,\\ x + 20 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 - x - 20 > 0,\\ x > 0.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \(\begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -4, \\ x > 5, \end{array}\right. \\ x > 0;\end{cases}\) \(x > 5\).
Объединяя найденные решения, получаем \(-20 \leqslant x < 0\) или \(x > 5\).
3) Область определения неравенства задаётся условиями \(12 - x - x^2 \geqslant 0\), \(x \ne 3{,}5\) и \(x \ne 5\). Из неравенства \(x^2 + x - 12 \leqslant 0\) получаем \(-4 \leqslant x \leqslant 3\); числа \(3{,}5\) и 5 этому отрезку не принадлежат. Значит, область определения — отрезок \([-4;\ 3]\), и на нём \(2x - 7 \leqslant -1 < 0\), \(x - 5 \leqslant -2 < 0\).
Если \(\sqrt{12 - x - x^2} = 0\), то есть \(x = -4\) или \(x = 3\), то обе части неравенства равны нулю и неравенство верно.
Если \(-4 < x < 3\), то \(\sqrt{12 - x - x^2} > 0\), и, разделив обе части на это положительное число, получаем равносильное неравенство \(\frac{1}{2x - 7} \leqslant \frac{1}{x - 5}\). Произведение \((2x - 7)(x - 5)\) положительно как произведение двух отрицательных чисел; умножив на него обе части, получаем \(x - 5 \leqslant 2x - 7\), откуда \(x \geqslant 2\). Вместе с условием \(-4 < x < 3\) это даёт \(2 \leqslant x < 3\).
Объединяя найденные решения, получаем отдельное число \(-4\) и отрезок \(2 \leqslant x \leqslant 3\).
4) Область определения неравенства задаётся условиями \(x^2 + x - 6 \geqslant 0\) и \(x \ne -5\). Из \((x + 3)(x - 2) \geqslant 0\) получаем \(x \leqslant -3\) или \(x \geqslant 2\), причём \(x \ne -5\).
Вычтем из обеих частей 1: \(\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 3x + 13 - (x + 5)}{x + 5} \leqslant 0\), то есть \(\frac{\sqrt{x^2 + x - 6} + 2x + 8}{x + 5} \leqslant 0\).
Если \(x > -5\), то \(x + 5 > 0\), и, умножив обе части на это положительное число, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 + x - 6} \leqslant -2x - 8\), которое равносильно системе \[\begin{cases}x^2 + x - 6 \leqslant (2x + 8)^2,\\ -2x - 8 \geqslant 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство системы: \(x^2 + x - 6 \leqslant 4x^2 + 32x + 64\); \(3x^2 + 31x + 70 \geqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(3x^2 + 31x + 70\) равен \(D = 961 - 840 = 121\), его корни \(x = \frac{-31 \pm 11}{6}\), то есть \(x = -7\) и \(x = -\frac{10}{3}\). Второе неравенство системы даёт \(x \leqslant -4\). Ни одно число промежутка \(-5 < x \leqslant -4\) не удовлетворяет условию «\(x \leqslant -7\) или \(x \geqslant -\frac{10}{3}\)», поэтому в этом случае решений нет.
Если \(x < -5\), то \(x + 5 < 0\), и, умножив обе части на это отрицательное число и изменив знак неравенства, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{x^2 + x - 6} \geqslant -2x - 8\). Оно равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}-2x - 8 < 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}-2x - 8 \geqslant 0,\\ x^2 + x - 6 \geqslant (2x + 8)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система требует \(x > -4\), что противоречит условию \(x < -5\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \leqslant -4,\\ 3x^2 + 31x + 70 \leqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \leqslant -4,\\ -7 \leqslant x \leqslant -\frac{10}{3};\end{cases}\) \(-7 \leqslant x \leqslant -4\). Вместе с условием \(x < -5\) получаем \(-7 \leqslant x < -5\).
Ответ: 1) \((-1;\ +\infty)\); 2) \([-20;\ 0) \cup (5;\ +\infty)\); 3) \(\{-4\} \cup [2;\ 3]\); 4) \([-7;\ -5)\).
