Страница 127 номер 16.16, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
При каких значениях параметра \(a\) множеством решений неравенства \(\sqrt{1 - x^2} \geqslant \frac{4}{3}(x - a)\) является промежуток длиной \(\frac{9}{5}\)?
ОДЗ: \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\) — отрезок длиной 2, от \(a\) не зависящий.
Неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - a < 0,\\ 1 - x^2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - a \geqslant 0,\\ 1 - x^2 \geqslant \frac{16}{9}(x - a)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Умножив второе неравенство второй системы на 9: \(9 - 9x^2 \geqslant 16x^2 - 32ax + 16a^2\); \(25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 \leqslant 0\). Обозначим \(g(x) = 25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9\); так как \(g(x) = 16(x - a)^2 - 9\left(1 - x^2\right)\), из \(g(x) \leqslant 0\) следует \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть решения второй системы автоматически принадлежат области определения.
Если \(a > 1\), то каждое число отрезка \([-1;\ 1]\) меньше \(a\) и первая система даёт весь этот отрезок. Множество решений — отрезок длиной 2, что условию не удовлетворяет.
Если \(a \leqslant -1\), то первая система решений не имеет: её решения должны быть меньше \(a\) и не меньше \(-1\). Тогда множество решений — это решения неравенства \(g(x) \leqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(g\) равен \(D = 1024a^2 - 100\left(16a^2 - 9\right) = 900 - 576a^2 \leqslant 900\). Если \(D < 0\), то \(g(x) > 0\) при всех \(x\) и решений нет вовсе. Если же \(D \geqslant 0\), то корни трёхчлена равны \(\frac{32a \pm \sqrt{D}}{50}\), множество решений — отрезок между ними длиной \(\frac{\sqrt{D}}{25} \leqslant \frac{30}{25} = \frac{6}{5}\), а \(\frac{6}{5} < \frac{9}{5}\) — промежутка нужной длины не получается.
Если \(-1 < a \leqslant 1\), то первая система даёт промежуток \(-1 \leqslant x < a\). Далее \(g(a) = 25a^2 - 32a^2 + 16a^2 - 9 = 9\left(a^2 - 1\right) \leqslant 0\), а старший коэффициент трёхчлена \(g\) положителен, поэтому число \(a\) лежит между корнями \(x_1\) и \(x_2\) этого трёхчлена (или совпадает с одним из них), и вторая система даёт промежуток \(a \leqslant x \leqslant x_2\). Объединяя, получаем отрезок \([-1;\ x_2]\) длиной \(x_2 + 1\).
Из условия \(x_2 + 1 = \frac{9}{5}\) получаем \(x_2 = \frac{4}{5}\); число \(\frac{4}{5}\) — корень трёхчлена \(g\), поэтому \[25 \cdot \frac{16}{25} - 32a \cdot \frac{4}{5} + 16a^2 - 9 = 0.\] Отсюда \(16 - \frac{128}{5}a + 16a^2 - 9 = 0\); \(16a^2 - \frac{128}{5}a + 7 = 0\); \(80a^2 - 128a + 35 = 0\); \(D = 16\,384 - 11\,200 = 5184\), \(\sqrt{D} = 72\); \(a = \frac{128 \pm 72}{160}\), то есть \(a = \frac{5}{4}\) или \(a = \frac{7}{20}\). Условию \(-1 < a \leqslant 1\) удовлетворяет только \(a = \frac{7}{20}\).
При \(a = \frac{7}{20}\) множество решений — отрезок \([-1;\ 0{,}8]\) длиной \(1{,}8 = \frac{9}{5}\).
Ответ: \(a = \frac{7}{20}\).
При каких значениях параметра \(a\) множеством решений неравенства \(\sqrt{1 - x^2} \geqslant \frac{4}{3}(x - a)\) является промежуток длиной \(\frac{9}{5}\)?
Область определения неравенства задаётся условием \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть \(-1 \leqslant x \leqslant 1\). Это отрезок длиной 2, и от \(a\) он не зависит.
Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - a < 0,\\ 1 - x^2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - a \geqslant 0,\\ 1 - x^2 \geqslant \frac{16}{9}(x - a)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Умножим второе неравенство второй системы на 9: \(9 - 9x^2 \geqslant 16(x - a)^2\); \(9 - 9x^2 \geqslant 16x^2 - 32ax + 16a^2\); \(25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9 \leqslant 0\). Обозначим \(g(x) = 25x^2 - 32ax + 16a^2 - 9\). Так как \(g(x) = 16(x - a)^2 - 9\left(1 - x^2\right)\), из \(g(x) \leqslant 0\) следует \(1 - x^2 \geqslant 0\), то есть решения второй системы автоматически принадлежат области определения.
Рассмотрим три случая.
Если \(a > 1\), то каждое число отрезка \([-1;\ 1]\) меньше \(a\), и первая система даёт весь этот отрезок. Множество решений — отрезок длиной 2, что условию не удовлетворяет.
Если \(a \leqslant -1\), то первая система решений не имеет: её решения должны быть меньше \(a\) и не меньше \(-1\). Тогда множеством решений является множество решений неравенства \(g(x) \leqslant 0\). Дискриминант трёхчлена \(g\) равен \(D = 1024a^2 - 100\left(16a^2 - 9\right) = 900 - 576a^2 \leqslant 900\). Если \(D < 0\), то \(g(x) > 0\) при всех \(x\) и решений нет вовсе. Если же \(D \geqslant 0\), то корни трёхчлена \(g\) равны \(\frac{32a \pm \sqrt{D}}{50}\), и множеством решений является отрезок между ними, длина которого равна \(\frac{\sqrt{D}}{25} \leqslant \frac{30}{25} = \frac{6}{5}\). Так как \(\frac{6}{5} < \frac{9}{5}\), промежутка нужной длины не получается.
Если \(-1 < a \leqslant 1\), то первая система даёт промежуток \(-1 \leqslant x < a\). Далее, \(g(a) = 25a^2 - 32a^2 + 16a^2 - 9 = 9\left(a^2 - 1\right) \leqslant 0\), а старший коэффициент трёхчлена \(g\) положителен, поэтому число \(a\) лежит между корнями \(x_1\) и \(x_2\) этого трёхчлена (или совпадает с одним из них), и вторая система даёт промежуток \(a \leqslant x \leqslant x_2\). Объединяя, получаем отрезок \([-1;\ x_2]\) длиной \(x_2 + 1\).
Из условия \(x_2 + 1 = \frac{9}{5}\) получаем \(x_2 = \frac{4}{5}\). Число \(\frac{4}{5}\) — корень трёхчлена \(g\), поэтому \[25 \cdot \frac{16}{25} - 32a \cdot \frac{4}{5} + 16a^2 - 9 = 0.\] Отсюда \(16 - \frac{128}{5}a + 16a^2 - 9 = 0\); \(16a^2 - \frac{128}{5}a + 7 = 0\); \(80a^2 - 128a + 35 = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = 16\,384 - 11\,200 = 5184\), \(\sqrt{D} = 72\), откуда \(a = \frac{128 \pm 72}{160}\), то есть \(a = \frac{5}{4}\) или \(a = \frac{7}{20}\). Условию \(-1 < a \leqslant 1\) удовлетворяет только \(a = \frac{7}{20}\).
При \(a = \frac{7}{20}\) множеством решений является отрезок \([-1;\ 0{,}8]\) длиной \(1{,}8 = \frac{9}{5}\).
Ответ: \(a = \frac{7}{20}\).
