Страница 126 номер 16.6, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x + 2} > x\); 2) \(\sqrt{2x + 14} > x + 3\); 3) \(\sqrt{x^2 - 5x - 24} \geqslant x + 2\); 4) \(\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3\).
1) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x < 0,\\ x + 2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x \geqslant 0,\\ x + 2 > x^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(-2 \leqslant x < 0\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ x^2 - x - 2 < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ -1 < x < 2;\end{cases}\) \(0 \leqslant x < 2\).
Объединение: \(-2 \leqslant x < 2\).
2) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 3 < 0,\\ 2x + 14 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 3 \geqslant 0,\\ 2x + 14 > (x + 3)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -3,\\ x \geqslant -7;\end{cases}\) \(-7 \leqslant x < -3\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ 2x + 14 > x^2 + 6x + 9;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ x^2 + 4x - 5 < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ -5 < x < 1;\end{cases}\) \(-3 \leqslant x < 1\).
Объединение: \(-7 \leqslant x < 1\).
3) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 2 < 0,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 2 \geqslant 0,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant (x + 2)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -2,\\ (x + 3)(x - 8) \geqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x < -2,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 8; \end{array}\right.\end{cases}\) \(x \leqslant -3\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -2,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant x^2 + 4x + 4;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -2,\\ x \leqslant -\frac{28}{9}.\end{cases}\) Так как \(-\frac{28}{9} < -2\), эта система решений не имеет.
Значит, множество решений данного неравенства — \(x \leqslant -3\).
4) Равносильная совокупность: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - 3 < 0,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - 3 \geqslant 0,\\ x^2 + 4x - 5 > (x - 3)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 3,\\ (x + 5)(x - 1) \geqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x < 3,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ x \geqslant 1; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ 1 \leqslant x < 3. \end{array}\right.\)
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 3,\\ 10x > 14;\end{cases}\) \(x \geqslant 3\).
Объединение: \(x \leqslant -5\) или \(x \geqslant 1\).
Ответ: 1) \([-2;\ 2)\); 2) \([-7;\ 1)\); 3) \((-\infty;\ -3]\); 4) \((-\infty;\ -5] \cup [1;\ +\infty)\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x + 2} > x\); 2) \(\sqrt{2x + 14} > x + 3\); 3) \(\sqrt{x^2 - 5x - 24} \geqslant x + 2\); 4) \(\sqrt{x^2 + 4x - 5} > x - 3\).
1) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x < 0,\\ x + 2 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x \geqslant 0,\\ x + 2 > x^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(-2 \leqslant x < 0\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ x^2 - x - 2 < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ -1 < x < 2;\end{cases}\) \(0 \leqslant x < 2\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(-2 \leqslant x < 2\).
2) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 3 < 0,\\ 2x + 14 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 3 \geqslant 0,\\ 2x + 14 > (x + 3)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -3,\\ x \geqslant -7;\end{cases}\) \(-7 \leqslant x < -3\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ 2x + 14 > x^2 + 6x + 9;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ x^2 + 4x - 5 < 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -3,\\ -5 < x < 1;\end{cases}\) \(-3 \leqslant x < 1\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(-7 \leqslant x < 1\).
3) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x + 2 < 0,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x + 2 \geqslant 0,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant (x + 2)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < -2,\\ (x + 3)(x - 8) \geqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x < -2,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 8; \end{array}\right.\end{cases}\) \(x \leqslant -3\).
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant -2,\\ x^2 - 5x - 24 \geqslant x^2 + 4x + 4;\end{cases}\) \(\begin{cases}x \geqslant -2,\\ x \leqslant -\frac{28}{9}.\end{cases}\) Так как \(-\frac{28}{9} < -2\), эта система решений не имеет.
Значит, множество решений данного неравенства — \(x \leqslant -3\).
4) Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: \[\left[\begin{array}{l} \begin{cases}x - 3 < 0,\\ x^2 + 4x - 5 \geqslant 0,\end{cases} \\ \begin{cases}x - 3 \geqslant 0,\\ x^2 + 4x - 5 > (x - 3)^2.\end{cases} \end{array}\right.\] Первая система: \(\begin{cases}x < 3,\\ (x + 5)(x - 1) \geqslant 0;\end{cases}\) \(\begin{cases}x < 3,\\ \left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ x \geqslant 1; \end{array}\right.\end{cases}\) \(\left[\begin{array}{l} x \leqslant -5, \\ 1 \leqslant x < 3. \end{array}\right.\)
Вторая система: \(\begin{cases}x \geqslant 3,\\ 10x > 14;\end{cases}\) \(x \geqslant 3\).
Объединяя решения обеих систем, получаем \(x \leqslant -5\) или \(x \geqslant 1\).
Ответ: 1) \([-2;\ 2)\); 2) \([-7;\ 1)\); 3) \((-\infty;\ -3]\); 4) \((-\infty;\ -5] \cup [1;\ +\infty)\).
