Страница 127 номер 16.12, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x - 6} - \sqrt{x + 10} \leqslant 1\); 2) \(2\sqrt{x} + \sqrt{5 - x} > \sqrt{x + 21}\).
1) ОДЗ: \(\begin{cases}x - 6 \geqslant 0,\\ x + 10 \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 6\).
При каждом таком \(x\) выполняется \(0 \leqslant x - 6 < x + 10\), а функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, поэтому \(\sqrt{x - 6} < \sqrt{x + 10}\), то есть \(\sqrt{x - 6} - \sqrt{x + 10} < 0 < 1\): неравенство верно при каждом \(x\) из области определения.
2) ОДЗ: \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ 5 - x \geqslant 0,\\ x + 21 \geqslant 0;\end{cases}\) \(0 \leqslant x \leqslant 5\); обозначим \(M = [0;\ 5]\).
Обе части неравенства на \(M\) неотрицательны, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \(\left(2\sqrt{x} + \sqrt{5 - x}\right)^2 > \left(\sqrt{x + 21}\right)^2\). Так как \(x \geqslant 0\) и \(5 - x \geqslant 0\), то \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{5 - x} = \sqrt{x(5 - x)}\), откуда \(4x + 4\sqrt{x(5 - x)} + 5 - x > x + 21\); \(4\sqrt{x(5 - x)} > 16 - 2x\); \(2\sqrt{x(5 - x)} > 8 - x\).
На \(M\) обе части последнего неравенства неотрицательны, так как \(8 - x \geqslant 3\), поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \(4x(5 - x) > (8 - x)^2\); \(20x - 4x^2 > 64 - 16x + x^2\); \(5x^2 - 36x + 64 < 0\); \(D = 1296 - 1280 = 16\), корни \(x = \frac{36 \pm 4}{10}\), то есть \(x = \frac{16}{5}\) и \(x = 4\). Значит, \(\frac{16}{5} < x < 4\), и все такие числа принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) \([6;\ +\infty)\); 2) \(\left(\frac{16}{5};\ 4\right)\).
Решите неравенство: 1) \(\sqrt{x - 6} - \sqrt{x + 10} \leqslant 1\); 2) \(2\sqrt{x} + \sqrt{5 - x} > \sqrt{x + 21}\).
1) Область определения неравенства задаётся системой \(\begin{cases}x - 6 \geqslant 0,\\ x + 10 \geqslant 0;\end{cases}\) \(x \geqslant 6\).
При каждом таком \(x\) выполняется \(0 \leqslant x - 6 < x + 10\). Функция \(y = \sqrt{t}\) возрастающая, поэтому \(\sqrt{x - 6} < \sqrt{x + 10}\), а значит, \(\sqrt{x - 6} - \sqrt{x + 10} < 0 < 1\). Следовательно, данное неравенство верно при каждом \(x\) из области определения.
2) Область определения неравенства задаётся системой \(\begin{cases}x \geqslant 0,\\ 5 - x \geqslant 0,\\ x + 21 \geqslant 0;\end{cases}\) \(0 \leqslant x \leqslant 5\). Обозначим \(M = [0;\ 5]\).
Обе части данного неравенства на множестве \(M\) принимают неотрицательные значения, поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \[\left(2\sqrt{x} + \sqrt{5 - x}\right)^2 > \left(\sqrt{x + 21}\right)^2.\] Так как \(x \geqslant 0\) и \(5 - x \geqslant 0\), то \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{5 - x} = \sqrt{x(5 - x)}\), и отсюда \(4x + 4\sqrt{x(5 - x)} + 5 - x > x + 21\); \(4\sqrt{x(5 - x)} > 16 - 2x\); \(2\sqrt{x(5 - x)} > 8 - x\).
На множестве \(M\) обе части последнего неравенства неотрицательны, так как \(8 - x \geqslant 3\). Поэтому на \(M\) оно равносильно неравенству \(4x(5 - x) > (8 - x)^2\). Отсюда \(20x - 4x^2 > 64 - 16x + x^2\); \(5x^2 - 36x + 64 < 0\). Дискриминант трёхчлена \(5x^2 - 36x + 64\) равен \(D = 1296 - 1280 = 16\), его корни \(x = \frac{36 \pm 4}{10}\), то есть \(x = \frac{16}{5}\) и \(x = 4\). Значит, \(\frac{16}{5} < x < 4\), и все такие числа принадлежат множеству \(M\).
Ответ: 1) \([6;\ +\infty)\); 2) \(\left(\frac{16}{5};\ 4\right)\).
