Страница 126 номер 16.3, ГДЗ по алгебре за 10 класс к учебнику Мерзляка. Алгебра и начало математического анализа
Решите неравенство: 1) \(x > \sqrt{24 - 5x}\); 2) \(\sqrt{2x + 7} \leqslant x + 2\); 3) \(3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}\); 4) \(\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3\).
1) Неравенство \(\sqrt{24 - 5x} < x\) равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}24 - 5x < x^2,\\ x > 0,\\ 24 - 5x \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 5x - 24 > 0,\\ x > 0,\\ x \leqslant \frac{24}{5};\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -8, \\ x > 3, \end{array}\right. \\ x > 0,\\ x \leqslant \frac{24}{5};\end{cases} \\ 3 < x \leqslant \frac{24}{5}. \end{gathered}\]
2) Равносильная система: \[\begin{gathered} \begin{cases}2x + 7 \leqslant (x + 2)^2,\\ x + 2 \geqslant 0,\\ 2x + 7 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 3 \geqslant 0,\\ x \geqslant -2,\\ x \geqslant -3{,}5;\end{cases} \\ \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 1, \end{array}\right. \\ x \geqslant -2;\end{cases} \\ x \geqslant 1. \end{gathered}\]
3) Разделив обе части на положительное число 3, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{1 - x^2} < \frac{3 - x}{3}\), а оно равносильно системе \[\begin{cases}1 - x^2 < \frac{(3 - x)^2}{9},\\ \frac{3 - x}{3} > 0,\\ 1 - x^2 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство: \(9 - 9x^2 < 9 - 6x + x^2\); \(10x^2 - 6x > 0\); \(2x(5x - 3) > 0\). Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 0, \\ x > 0{,}6, \end{array}\right. \\ x < 3,\\ -1 \leqslant x \leqslant 1;\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} -1 \leqslant x < 0, \\ 0{,}6 < x \leqslant 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
4) Равносильная система: \[\begin{cases}7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2,\\ 2x + 3 > 0,\\ 7x - x^2 - 6 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство: \(7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9\); \(5x^2 + 5x + 15 > 0\); \(x^2 + x + 3 > 0\), и оно верно при любом \(x\): \(D = 1 - 12 = -11 < 0\), старший коэффициент положителен. Тогда \[\begin{gathered} \begin{cases}x > -1{,}5,\\ x^2 - 7x + 6 \leqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x > -1{,}5,\\ 1 \leqslant x \leqslant 6;\end{cases} \\ 1 \leqslant x \leqslant 6. \end{gathered}\]
Ответ: 1) \(\left(3;\ \frac{24}{5}\right]\); 2) \([1;\ +\infty)\); 3) \([-1;\ 0) \cup (0{,}6;\ 1]\); 4) \([1;\ 6]\).
Решите неравенство: 1) \(x > \sqrt{24 - 5x}\); 2) \(\sqrt{2x + 7} \leqslant x + 2\); 3) \(3 - x > 3\sqrt{1 - x^2}\); 4) \(\sqrt{7x - x^2 - 6} < 2x + 3\).
1) Данное неравенство запишем в виде \(\sqrt{24 - 5x} < x\). Оно равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}24 - 5x < x^2,\\ x > 0,\\ 24 - 5x \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 5x - 24 > 0,\\ x > 0,\\ x \leqslant \frac{24}{5}.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < -8, \\ x > 3, \end{array}\right. \\ x > 0,\\ x \leqslant \frac{24}{5};\end{cases} \\ 3 < x \leqslant \frac{24}{5}. \end{gathered}\]
2) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{gathered} \begin{cases}2x + 7 \leqslant (x + 2)^2,\\ x + 2 \geqslant 0,\\ 2x + 7 \geqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x^2 + 2x - 3 \geqslant 0,\\ x \geqslant -2,\\ x \geqslant -3{,}5.\end{cases} \end{gathered}\] Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x \leqslant -3, \\ x \geqslant 1, \end{array}\right. \\ x \geqslant -2;\end{cases} \\ x \geqslant 1. \end{gathered}\]
3) Разделив обе части данного неравенства на положительное число 3, получаем равносильное неравенство \(\sqrt{1 - x^2} < \frac{3 - x}{3}\), которое равносильно системе \[\begin{cases}1 - x^2 < \frac{(3 - x)^2}{9},\\ \frac{3 - x}{3} > 0,\\ 1 - x^2 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство системы: \(9 - 9x^2 < 9 - 6x + x^2\); \(10x^2 - 6x > 0\); \(2x(5x - 3) > 0\). Отсюда \[\begin{gathered} \begin{cases}\left[\begin{array}{l} x < 0, \\ x > 0{,}6, \end{array}\right. \\ x < 3,\\ -1 \leqslant x \leqslant 1;\end{cases} \\ \left[\begin{array}{l} -1 \leqslant x < 0, \\ 0{,}6 < x \leqslant 1. \end{array}\right. \end{gathered}\]
4) Данное неравенство равносильно системе \[\begin{cases}7x - x^2 - 6 < (2x + 3)^2,\\ 2x + 3 > 0,\\ 7x - x^2 - 6 \geqslant 0.\end{cases}\] Первое неравенство системы: \(7x - x^2 - 6 < 4x^2 + 12x + 9\); \(5x^2 + 5x + 15 > 0\); \(x^2 + x + 3 > 0\). Его дискриминант \(D = 1 - 12 = -11 < 0\), а старший коэффициент положителен, поэтому первое неравенство верно при любом \(x\). Тогда \[\begin{gathered} \begin{cases}x > -1{,}5,\\ x^2 - 7x + 6 \leqslant 0;\end{cases} \\ \begin{cases}x > -1{,}5,\\ 1 \leqslant x \leqslant 6;\end{cases} \\ 1 \leqslant x \leqslant 6. \end{gathered}\]
Ответ: 1) \(\left(3;\ \frac{24}{5}\right]\); 2) \([1;\ +\infty)\); 3) \([-1;\ 0) \cup (0{,}6;\ 1]\); 4) \([1;\ 6]\).
