Самостоятельная работа 24 Вариант 4, ГДЗ по алгебре за 10 класс к самостоятельным работам Мерзляка

1) По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta = 1\), и это равенство верно при любом \(\beta\).

Выражение \(\dfrac{1}{\sin^2 2\beta}\) определено при \(\sin 2\beta \ne 0\), то есть при \(2\beta \ne \pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\); при таких \(\beta\) верно \(\dfrac{1}{\sin^2 2\beta} = 1 + \mathrm{ctg}^2\,2\beta\). Имеем: \[\cos^2 7\beta + \sin^2 7\beta - \frac{1}{\sin^2 2\beta} = 1 - (1 + \mathrm{ctg}^2\,2\beta) = -\mathrm{ctg}^2\,2\beta.\]

2) Тождество \(\mathrm{tg}\,\dfrac{\beta}{4}\,\mathrm{ctg}\,\dfrac{\beta}{4} = 1\) верно при \(\dfrac{\beta}{4} \ne \dfrac{\pi k}{2}\), \(k \in \mathbf{Z}\), а \(\mathrm{tg}\,\dfrac{\beta}{3}\) определён при \(\cos \dfrac{\beta}{3} \ne 0\), и при таких \(\beta\) выполняется \(1 + \mathrm{tg}^2\,\dfrac{\beta}{3} = \dfrac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}}\). Имеем: \[\mathrm{tg}^2\,\frac{\beta}{3} + \mathrm{tg}\,\frac{\beta}{4}\,\mathrm{ctg}\,\frac{\beta}{4} = \mathrm{tg}^2\,\frac{\beta}{3} + 1 = \frac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}}.\]

3) Выражение определено при \(\sin 5\varphi \ne 0\). Преобразуем числитель, заменив \(\cos^2 5\varphi - 1\) на \(-\sin^2 5\varphi\) по основному тригонометрическому тождеству: \[\begin{aligned} &1 + \mathrm{ctg}^2\,5\varphi\,(\cos^2 5\varphi - 1) = 1 - \mathrm{ctg}^2\,5\varphi \sin^2 5\varphi = {} \\ &= 1 - \frac{\cos^2 5\varphi}{\sin^2 5\varphi} \cdot \sin^2 5\varphi = 1 - \cos^2 5\varphi = \sin^2 5\varphi. \end{aligned}\]

Числитель дроби оказался равен её знаменателю, поэтому \(\dfrac{1 + \mathrm{ctg}^2 5\varphi\,(\cos^2 5\varphi - 1)}{\sin^2 5\varphi} = \dfrac{\sin^2 5\varphi}{\sin^2 5\varphi} = 1\).

Ответ: 1) \(-\mathrm{ctg}^2\,2\beta\); 2) \(\dfrac{1}{\cos^2 \frac{\beta}{3}}\); 3) \(1\).

Котангенс угла \(\gamma\) известен, поэтому найдём синус из тождества \(1 + \mathrm{ctg}^2\,\gamma = \dfrac{1}{\sin^2 \gamma}\). Имеем: \(\dfrac{1}{\sin^2 \gamma} = 1 + \left(-\sqrt{5}\right)^2 = 6\), откуда \(\sin^2 \gamma = \dfrac{1}{6}\).

Так как \(\dfrac{3\pi}{2} < \gamma < 2\pi\), то \(\sin \gamma < 0\), следовательно, \(\sin \gamma = -\sqrt{\dfrac{1}{6}} = -\dfrac{1}{\sqrt{6}} = -\dfrac{\sqrt{6}}{6}\).

Из равенства \(\mathrm{ctg}\,\gamma = \dfrac{\cos \gamma}{\sin \gamma}\) получаем \(\cos \gamma = \mathrm{ctg}\,\gamma \cdot \sin \gamma = -\sqrt{5} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{30}}{6}\);

\(\mathrm{tg}\,\gamma = \dfrac{1}{\mathrm{ctg}\,\gamma} = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

Проверка: угол \(\gamma\) — угол IV четверти, а в ней косинус положителен, тангенс отрицателен; найденные значения этому отвечают.

Ответ: \(\sin \gamma = -\dfrac{\sqrt{6}}{6}\); \(\cos \gamma = \dfrac{\sqrt{30}}{6}\); \(\mathrm{tg}\,\gamma = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}\).

1) По основному тригонометрическому тождеству \(\sin^2 \varphi = 1 - \cos^2 \varphi\), поэтому выражение сводится к одной функции: \[7\cos^2 \varphi - 5\sin^2 \varphi = 7\cos^2 \varphi - 5(1 - \cos^2 \varphi) = 12\cos^2 \varphi - 5.\]

При любом \(\varphi\) выполняется \(0 \leqslant \cos^2 \varphi \leqslant 1\), значит, \(-5 \leqslant 12\cos^2 \varphi - 5 \leqslant 7\).

Наибольшее значение выражения равно \(7\) (его выражение принимает при \(\cos \varphi = \pm 1\)), наименьшее значение равно \(-5\) (его выражение принимает при \(\cos \varphi = 0\)).

2) Тангенс определён при \(\cos \beta \ne 0\), и при таких \(\beta\) выполняется \(\mathrm{tg}^2\,\beta \cos^2 \beta = \dfrac{\sin^2 \beta}{\cos^2 \beta} \cdot \cos^2 \beta = \sin^2 \beta\). Имеем: \[\begin{aligned} &4\cos^2 \beta - 5\,\mathrm{tg}^2\,\beta \cos^2 \beta = 4\cos^2 \beta - 5\sin^2 \beta = {} \\ &= 4\cos^2 \beta - 5(1 - \cos^2 \beta) = 9\cos^2 \beta - 5. \end{aligned}\]

Условие \(\cos \beta \ne 0\) оставляет для \(\cos^2 \beta\) промежуток \(0 < \cos^2 \beta \leqslant 1\), и значения выражения \(9\cos^2 \beta - 5\) заполняют промежуток \((-5;\ 4]\).

Наибольшее значение выражения равно \(4\) (его выражение принимает при \(\cos \beta = \pm 1\)). Наименьшего значения не существует: число \(-5\) выражение приняло бы только при \(\cos \beta = 0\), а такие \(\beta\) в область определения не входят.

Ответ: 1) наибольшее значение \(7\), наименьшее значение \(-5\); 2) наибольшее значение \(4\), наименьшего значения не существует.

Синус и косинус — периодические функции с периодом \(2\pi\), поэтому \(\sin \varphi = \sin(\varphi - 2\pi)\) и \(\cos \varphi = \cos(\varphi - 2\pi)\). Из условия \(3\pi < \varphi < \dfrac{7\pi}{2}\) следует, что \(\pi < \varphi - 2\pi < \dfrac{3\pi}{2}\), то есть угол \(\varphi - 2\pi\) — угол III четверти. Значит, \(\sin \varphi < 0\) и \(\cos \varphi < 0\); в частности, \(\mathrm{tg}\,\varphi\) и \(\mathrm{ctg}\,\varphi\) определены. Имеем: \[\begin{aligned} &\sqrt{\cos^2 \varphi\,(1 + \mathrm{tg}\,\varphi) + \sin^2 \varphi\,(1 + \mathrm{ctg}\,\varphi)} = {} \\ &= \sqrt{\cos^2 \varphi + \cos^2 \varphi \cdot \frac{\sin \varphi}{\cos \varphi} + \sin^2 \varphi + \sin^2 \varphi \cdot \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}} = {} \\ &= \sqrt{\cos^2 \varphi + \cos \varphi \sin \varphi + \sin^2 \varphi + \sin \varphi \cos \varphi} = {} \\ &= \sqrt{\sin^2 \varphi + 2\sin \varphi \cos \varphi + \cos^2 \varphi} = {} \\ &= \sqrt{(\sin \varphi + \cos \varphi)^2} = |\sin \varphi + \cos \varphi|. \end{aligned}\]

Оба слагаемых \(\sin \varphi\) и \(\cos \varphi\) отрицательны, поэтому \(\sin \varphi + \cos \varphi < 0\). Следовательно, \(|\sin \varphi + \cos \varphi| = -\sin \varphi - \cos \varphi\).

Ответ: \(-\sin \varphi - \cos \varphi\).