Страница 71 номер 189, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{x + 1} < x - 1\), \(\begin{cases} x + 1 < x^{2} - 2x + 1 \\ x + 1 \geqslant 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}\),
\(\begin{cases} x^{2} - 3x > 0 \\ x \geqslant -1 \\ x > 1 \end{cases}\), \(\begin{cases} x(x - 3) > 0 \\ x > 1 \end{cases}\),
\(x > 3.\)

2) \(\sqrt{1 - x} > x + 1\),

Если \(x + 1 < 0\), т. е. \(x < -1\), то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения \(1 - x \geqslant 0\): \(x < -1\).

Если \(x \geqslant -1\), то обе части неотрицательны: \(\begin{cases} 1 - x > x^{2} + 2x + 1 \\ 1 - x \geqslant 0 \end{cases}\), \(\begin{cases} x^{2} + 3x < 0 \\ x \leqslant 1 \end{cases}\), \(\begin{cases} x(x + 3) < 0 \\ x \leqslant 1 \\ x \geqslant -1 \end{cases}\),

\(-1 \leqslant x < 0.\)

Вместе с \(x < -1\): \(x < 0\).

3) \(\sqrt{3x - 2} > x - 2\),

Если \(x - 2 < 0\), т. е. \(x < 2\), то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения \(3x - 2 \geqslant 0\): \(\frac{2}{3} \leqslant x < 2\).

Если \(x \geqslant 2\), то обе части неотрицательны: \(\begin{cases} 3x - 2 > x^{2} - 4x + 4 \\ 3x - 2 \geqslant 0 \end{cases}\), \(\begin{cases} x^{2} - 7x + 6 < 0 \\ x \geqslant \frac{2}{3} \end{cases}\),

\(x_{1{,}2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}, x_{1} = 6, x_{2} = 1\)
\(\begin{cases} 1 < x < 6 \\ x \geqslant \frac{2}{3} \\ x \geqslant 2 \end{cases}, 2 \leqslant x < 6.\)

Вместе с \(\frac{2}{3} \leqslant x < 2\): \(\frac{2}{3} \leqslant x < 6\).

4) \(\sqrt{2x + 1} \leqslant x + 1\), \(\begin{cases} 2x + 1 \leqslant x^{2} + 2x + 1 \\ x + 1 \geqslant 0 \\ 2x + 1 \geqslant 0 \end{cases}\), \(\begin{cases} x^{2} \geqslant 0 \\ x \geqslant -1 \\ x \geqslant -\frac{1}{2} \end{cases}\), \(x \geqslant -\frac{1}{2}\).