Страница 71 номер 190, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\frac{x^{2} - 13x + 40}{\sqrt{19x - x^{2} - 78}} \leqslant 0\), \(\begin{cases} x^{2} - 13x + 40 \leqslant 0 \\ 19x - x^{2} - 78 > 0 \end{cases}\),
\(x^{2} - 13x + 40 = 0, x_{1{,}2} = \dfrac{13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}, x_{1} = 8, x_{2} = 5\)
\(19x - x^{2} - 78 = 0, x_{1{,}2} = -\dfrac{-19 \pm \sqrt{361 - 312}}{2}, x_{1} = 6, x_{2} = 13\)
\(\begin{cases} 5 \leqslant x \leqslant 8 \\ 6 < x < 13 \end{cases}, 6 < x \leqslant 8;\)

2) \(\frac{\sqrt{2x^{2} + 7x - 4}}{x + 4} < \frac{1}{2}\),

Если \(x + 4 < 0\), т. е. \(x < -4\), то \(2x^{2} + 7x - 4 = (2x - 1)(x + 4) > 0\), числитель положителен, а знаменатель отрицателен, левая часть отрицательна, и неравенство верно при всех \(x < -4\).

Если \(x + 4 > 0\), то обе части умножаем на \(2(x + 4) > 0\): \(\begin{cases} 2x^{2} + 7x - 4 \geqslant 0 \\ x + 4 \neq 0 \\ 2\sqrt{2x^{2} + 7x - 4} < x + 4 \end{cases}\),

\(2x^{2} + 7x - 4 = 0, x_{1{,}2} = \dfrac{-7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}, x_{1} = \dfrac{1}{2}, x_{2} = -4\)
\(\left(2\sqrt{2x^{2} + 7x - 4}\right)^{2} < (x + 4)^{2}, 8x^{2} + 28x - 16 < x^{2} + 8x + 16,\)
\(7x^{2} + 20x - 32 < 0, x_{1{,}2} = \dfrac{-20 \pm \sqrt{400 + 896}}{14}, x_{1} = 1\dfrac{1}{7}, x_{2} = -4,\)
\(\begin{cases} x \leqslant -4 \text{ и } x \geqslant \frac{1}{2} \\ x \neq -4 \\ -4 < x < 1\frac{1}{7} \end{cases}\), \(\frac{1}{2} \leqslant x < 1\frac{1}{7}\).

Вместе с \(x < -4\): \(\frac{1}{2} \leqslant x < 1\frac{1}{7}\) и \(x < -4\).

3) \(\sqrt{3 + x} > |x - 3|\), \(\begin{cases} 3 + x \geqslant 0 \\ 3 + x > x^{2} - 6x + 9 \end{cases}\), \(\begin{cases} x \geqslant -3 \\ x^{2} - 7x + 6 < 0 \end{cases}\),
\(x_{1{,}2} = \dfrac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}, x_{1} = 6, x_{2} = 1\)
\(\begin{cases} x \geqslant -3 \\ 1 < x < 6 \end{cases}, 1 < x < 6;\)

4) \(\sqrt{3 - x} < \sqrt{7 + x} + \sqrt{10 + x}\),
\(\begin{cases} 3 - x \geqslant 0 \\ 7 + x \geqslant 0 \\ 10 + x \geqslant 0 \\ 3 - x < 7 + x + 2\sqrt{70 + 17x + x^{2}} + 10 + x \end{cases},\)
\(\begin{cases} x \leqslant 3 \\ x \geqslant -7 \\ x \geqslant -10 \\ -14 - 3x < 2\sqrt{70 + 17x + x^{2}} \end{cases},\)

Если \(-14 - 3x < 0\), т. е. \(x > -\frac{14}{3}\), то левая часть отрицательна, а правая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения \(-7 \leqslant x \leqslant 3\): \(-\frac{14}{3} < x \leqslant 3\).

Если \(x \leqslant -\frac{14}{3}\), то обе части неотрицательны: \(\begin{cases} -7 \leqslant x \leqslant 3 \\ -14 - 3x \geqslant 0 \\ 196 + 84x + 9x^{2} < 280 + 68x + 4x^{2} \end{cases}\),

\(\begin{cases} -7 \leqslant x \leqslant 3 \\ x \leqslant -\frac{14}{3} \\ 5x^{2} + 16x - 84 < 0 \end{cases},\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{10}, x_{1} = 2{,}8, x_{2} = -6\)
\(\begin{cases} -7 \leqslant x \leqslant 3 \\ x \leqslant -4\frac{2}{3} \\ -6 < x < 2{,}8 \end{cases}, -6 < x \leqslant -4\dfrac{2}{3}.\)

Вместе с \(-\frac{14}{3} < x \leqslant 3\): \(-6 < x \leqslant 3\).