Страница 71 номер 191, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x - 6} < a\). При \(a \leqslant 0\) решений нет: левая часть неотрицательна.

при \(a > 0\): \(\begin{cases} x \geqslant 6 \\ x - 2 + 2\sqrt{x^{2} - 8x + 12} + x - 6 < a^{2} \end{cases}\),

\(\begin{cases} x \geqslant 6 \\ 4 - x + \frac{a^{2}}{2} > \sqrt{x^{2} - 8x + 12} \end{cases},\)

Правая часть неотрицательна, значит, \(4 - x + \frac{a^{2}}{2} > 0\), \(x < 4 + \frac{a^{2}}{2}\).

Если \(0 < a \leqslant 2\), то \(4 + \frac{a^{2}}{2} \leqslant 6\),

и вместе с \(x \geqslant 6\) это невозможно: решений нет.

Если \(a > 2\), то при \(x < 4 + \frac{a^{2}}{2}\) обе части неотрицательны:

\(\begin{cases} x \geqslant 6 \\ x^{2} - 8x + 12 < 16 - 8x + 4a^{2} + x^{2} - a^{2}x + \frac{a^{4}}{4} \end{cases},\)
\(\begin{cases} x \geqslant 6 \\ a^{2}x < 4 + 4a^{2} + \frac{a^{4}}{4} \end{cases}, \begin{cases} x \geqslant 6 \\ a^{2}x < \frac{16 + 16a^{2} + a^{4}}{4} \end{cases}, 6 \leqslant x < \dfrac{16 + 16a^{2} + a^{4}}{4a^{2}}.\)

Условие \(x < 4 + \frac{a^{2}}{2}\) при этом выполняется: \(\frac{16 + 16a^{2} + a^{4}}{4a^{2}} < 4 + \frac{a^{2}}{2}\), так как \(16 < a^{4}\).

2) \(2x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} > 0\), \(\begin{cases} a^{2} - x^{2} \geqslant 0 \\ \sqrt{a^{2} - x^{2}} > -2x \end{cases}\),

Если \(-2x < 0\), т. е. \(x > 0\), то правая часть отрицательна, а левая неотрицательна, и неравенство верно при всех \(x\) из области определения \(|x| \leqslant |a|\): \(0 < x \leqslant |a|\).

Если \(x \leqslant 0\), то обе части неотрицательны: \(\begin{cases} a^{2} \geqslant x^{2} \\ a^{2} - x^{2} > 4x^{2} \end{cases}\), \(\begin{cases} |x| \leqslant |a| \\ 5x^{2} < a^{2} \\ x \leqslant 0 \end{cases}\), \(\frac{-|a|}{\sqrt{5}} < x \leqslant 0\).

Вместе с \(0 < x \leqslant |a|\):

\(\dfrac{-|a|}{\sqrt{5}} < x \leqslant |a|.\)

При \(a = 0\) решений нет: область определения состоит из одной точки \(x = 0\), а \(0 > 0\) неверно.