Страница 431 номер 1614, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

Задачи для внеклассной работы. Страница 431. Номер 1614

Задание / условие:

Решить неравенство (1612—1615). 1) \(\log_{|2x + 1|} x^2 \ge 2\); 2) \(\log_{x^2}|3x + 1| < \frac{1}{2}\).

Решение:

1) \(\log_{|2x + 1|}x^{2} \geqslant 2\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\), \(x \neq - \frac{1}{2}\), \(x \neq - 1\);

\(\log_{|2x + 1|}x^{2} \geqslant \log_{|2x + 1|}|2x + 1|^{2},\)

а) \(|2x + 1| > 1\), \(x \in (-\infty; - 1) \cup (0; + \infty)\):
\(x^{2} \geqslant 4x^{2} + 4x + 1,\)
\(3x^{2} + 4x + 1 \leqslant 0,\)
\(x_{1{,}2} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6},\)
\(x_{1} = - \dfrac{1}{3}, x_{2} = - 1\)

Парабола, ветви направлены вверх

\(- 1 \leqslant x \leqslant - \dfrac{1}{3},\)

С учётом условия: решений нет;

б) \(|2x + 1| < 1\), \(x \in (-1;\ 0)\):
\(x^{2} \leqslant 4x^{2} + 4x + 1,\)
\(3x^{2} + 4x + 1 \geqslant 0,\)
\(x \leqslant - 1, x \geqslant - \dfrac{1}{3},\)

С учётом условия: \(- \frac{1}{3} \leqslant x < 0\);

Ответ: \(- \frac{1}{3} \leqslant x < 0\).

2) \(\log_{x^{2}}|3x + 1| < \frac{1}{2}\)

Область допустимых значений: \(x \neq 0\), \(x \neq \pm 1\), \(x \neq - \frac{1}{3}\);

\(\log_{x^{2}}|3x + 1| < \log_{x^{2}}|x|,\)

1. \(x^{2} > 1\):

а) \(x > 1\):
\(3x + 1 < x,\)
\(x < - \frac{1}{2}\) – не соответствует условию;

б) \(x < - 1\):
\(- 3x - 1 < - x,\)
\(- 2x < 1,\)
\(x > - \frac{1}{2}\) – не соответствует условию;

2. \(x^{2} < 1\), \(- 1 < x < 1\):

а) \(0 < x < 1\):
\(3x + 1 > x,\)
\(x > - \dfrac{1}{2},\)

С учётом условия: \(0 < x < 1\);

б) \(- \frac{1}{3} \leqslant x < 0\):
\(3x + 1 > - x,\)
\(x > - \dfrac{1}{4},\)