Страница 431 номер 1613, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\log_{\frac{1}{2}}(1 + x) - \sqrt{x^{2} - 4} \leqslant 0\)

Область допустимых значений:

\(\begin{cases} 1 + x > 0 \\ x^{2} - 4 \geqslant 0 \end{cases},\)
\(\begin{cases} x > - 1 \\ x^{2} \geqslant 4 \end{cases},\)
\(x \geqslant 2;\)
\(\log_{\frac{1}{2}}(1 + x) \leqslant \sqrt{x^{2} - 4},\)
\(\log_{2}(1 + x) \geqslant - \sqrt{x^{2} - 4}\) – выполняется при любом \(x\), входящем в ОДЗ:
\(\log_{2}(1 + x) \geqslant \log_{2}3 > 0 \geqslant - \sqrt{x^{2} - 4}.\)

Ответ: \(x \geqslant 2\);

2) \(\frac{1}{\log_{5}(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_{5}(3 - 2x)} < 0\)

Область допустимых значений:

\(\begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ \log_{5}(3 - 2x) \neq 0 \\ \log_{5}(3 - 2x) \neq 4 \end{cases};\)
\(\log_{5}(3 - 2x) = z,\)
\(\dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{4 - z} < 0,\)
\(\dfrac{4 - z - z}{z(4 - z)} < 0,\)
\(\dfrac{2(2 - z)}{z(4 - z)} < 0,\)
\(2 < z < 4\) или \(z < 0\),
\(2 < \log_{5}(3 - 2x) < 4,\)
\(5^{2} < 3 - 2x < 5^{4},\)
\(22 < - 2x < 622,\)
\(- 311 < x < - 11;\)
\(\log_{5}(3 - 2x) < 0,\)
\(0 < 3 - 2x < 1,\)
\(- 3 < - 2x < - 2,\)
\(1 < x < 1{,}5.\)

Ответ: \(- 311 < x < - 11\), \(1 < x < 1{,}5\).