Страница 430 номер 1611, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\frac{8x^{2} - 4x + 3}{4x^{2} - 2x + 1} \leqslant a\)
\(\dfrac{8x^{2} - 4x + 3 - 4x^{2}a + 2xa - a}{4x^{2} - 2x + 1} \leqslant 0,\)
\(\dfrac{x^{2}(8 - 4a) - x(4 - 2a) + (3 - a)}{4x^{2} - 2x + 1} \leqslant 0,\)
\(4x^{2} - 2x + 1 > 0,\)
\(D = 4 - 16 < 0\) – неравенство верно при любых \(x\);
\(x^{2}(8 - 4a) - x(4 - 2a) + (3 - a) \leqslant 0,\)

При \(a = 2\): \(1 \leqslant 0\) – неверно;

\(8 - 4a < 0,\)
\(a > 2,\)
\(D = (4 - 2a)^{2} - 4(8 - 4a)(3 - a) =\)
\(= 16 - 16a + 4a^{2} - 96 + 80a - 16a^{2} = - 12a^{2} + 64a - 80,\)
\(D \leqslant 0,\)
\(3a^{2} - 16a + 20 \geqslant 0,\)
\(a_{1{,}2} = \dfrac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6},\)
\(a_{1} = \frac{10}{3}\), \(a_{2} = 2\) – не удовлетворяет условию \(a > 2\);

Парабола, ветви направлены вверх

\(a \geqslant \dfrac{10}{3}.\)

Ответ: неравенство верно при любых \(x\) при \(a \geqslant \frac{10}{3}\);

2) \(\frac{3x^{2} - 4x + 8}{9x^{2} - 12x + 16} \geqslant a\)
\(\dfrac{3x^{2} - 4x + 8 - 9x^{2}a + 12xa - 16a}{9x^{2} - 12x + 16} \geqslant 0,\)
\(9x^{2} - 12x + 16 > 0,\)
\(D = 144 - 576 < 0\) – неравенство верно при любых \(x\);
\(x^{2}(3 - 9a) + x(12a - 4) + (8 - 16a) \geqslant 0,\)
\(3 - 9a \geqslant 0,\)
\(a \leqslant \dfrac{1}{3},\)

При \(a = \frac{1}{3}\): \(\frac{8}{3} \geqslant 0\) – верно;

\(D = \left( 2(6a - 2) \right)^{2} - 4(3 - 9a)(8 - 16a) =\)
\(= 4\left( 36a^{2} - 24a + 4 - 24 + 120a - 144a^{2} \right),\)
\(D \leqslant 0,\)
\(- 108a^{2} + 96a - 20 \leqslant 0,\)
\(27a^{2} - 24a + 5 \geqslant 0,\)
\(a_{1{,}2} = \dfrac{24 \pm \sqrt{576 - 540}}{54},\)
\(a_{1} = \frac{30}{54} = \frac{5}{9}\) – не удовлетворяет условию \(a \leqslant \frac{1}{3}\),
\(a_{2} = \dfrac{18}{54} = \dfrac{1}{3};\)

Парабола, ветви направлены вверх

\(a \leqslant \dfrac{1}{3}.\)

Ответ: неравенство верно при любых \(x\) при \(a \leqslant \frac{1}{3}\).