Страница 411 номер 1384, ГДЗ по алгебре за 10-11 класс Алимов - ответы и решение

1) \(\operatorname{tg}^{2}{3x} - 4\sin^{2}{3x} = 0\)
\(\sin^{2}{3x} - 4\sin^{2}{3x}\cos^{2}{3x} = 0,\)
\(\sin^{2}{3x}\left( 1 - 4\cos^{2}{3x} \right) = 0,\)
\(\sin{3x} = 0\) или \(\cos{3x} = \pm \frac{1}{2}\)
\(\cos{3x} = \pm 1\) или \(\cos{3x} = \pm \frac{1}{2}\) – левая часть исходного уравнения имеет смысл;
\(x_{1} = \dfrac{\pi}{3}n,\)
\(x_{2} = \pm \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{\pi}{3}n, n \in Z;\)

2) \(\sin x\operatorname{tg} x = \cos x + \operatorname{tg} x\)
\(\dfrac{\sin^{2}x - \cos^{2}x - \sin x}{\cos x} = 0,\)

Область допустимых значений: \(\cos x \neq 0\), \(x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(n \in Z\);

\(\sin^{2}x - \cos^{2}x - \sin x = 0,\)
\(2\sin^{2}x - 1 - \sin x = 0,\)
\(\sin x = z, 2z^{2} - z - 1 = 0\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4},\)
\(z_{1} = 1, z_{2} = - \dfrac{1}{2}\)
\(\sin x = 1\) или \(\sin x = - \frac{1}{2}\)
\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in Z\) – не соответствует ОДЗ;
\(x = (-1)^{n + 1} \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n, n \in Z;\)

3) \(\operatorname{ctg} x\left( \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x} \right) = 1\)
\(\dfrac{\cos x}{\sin x} \cdot \dfrac{\cos x + 1}{\sin x} = 1,\)
\(\dfrac{\cos^{2}x + \cos x}{\sin^{2}x} = 1,\)

Область допустимых значений: \(\sin x \neq 0\), \(x \neq \pi n\), \(n \in Z\);

\(\cos^{2}x + \cos x - \sin^{2}x = 0,\)
\(2\cos^{2}x + \cos x - 1 = 0,\)
\(\cos x = z, 2z^{2} + z - 1 = 0\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4},\)
\(z_{1} = - 1, z_{2} = \dfrac{1}{2}\)
\(\cos x = - 1\) или \(\cos x = \frac{1}{2}\)
\(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in Z\) – не соответствует ОДЗ;
\(x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z;\)

4) \(4\operatorname{ctg}^{2}x = 5 - \frac{9}{\sin x}\)
\(\dfrac{4\cos^{2}x}{\sin^{2}x} = \dfrac{5\sin x - 9}{\sin x},\)

Область допустимых значений: \(\sin x \neq 0\), \(x \neq \pi n\), \(n \in Z\);

\(4\cos^{2}x - 5\sin^{2}x + 9\sin x = 0,\)
\(4 - 9\sin^{2}x + 9\sin x = 0,\)
\(\sin x = z, 9z^{2} - 9z - 4 = 0\)
\(z_{1{,}2} = \dfrac{9 \pm \sqrt{81 + 144}}{18},\)
\(z_{1} = \dfrac{4}{3}, z_{2} = - \dfrac{1}{3}\)
\(\sin x = \frac{4}{3}\) – корней нет;
\(\sin x = - \dfrac{1}{3},\)
\(x = (-1)^{n + 1}\arcsin\dfrac{1}{3} + \pi n, n \in Z.\)