Страница 201 номер 561, ГДЗ по алгебре за 9 класс к учебнику Алимова с ответами и решением
Три числа, сумма которых равна 78, составляют геометрическую прогрессию и являются также первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии. Найти эти числа.
Пусть \(a_{1}\), \(a_{2}\), \(a_{3}\) – искомые числа; это первый, третий и девятый члены арифметической прогрессии с разностью \(d\).
\(a_{1} + a_{2} + a_{3} = 78,\)
\(a_{2} = a_{1} + 2d,\)
\(a_{3} = a_{1} + 8d,\)
\(a_{2}^{2} = a_{1} \cdot a_{3},\)
\(\begin{cases}3a_{1} + 10d = 78 \\ \left(a_{1} + 2d\right)^{2} = \left(a_{1} + 8d\right) \cdot a_{1}\end{cases},\)
\(\begin{cases}3a_{1} + 10d = 78 \\ a_{1}^{2} + 4a_{1}d + 4d^{2} = a_{1}^{2} + 8a_{1}d\end{cases},\)
\(\begin{cases}d^{2} - a_{1}d = 0 \\ 3a_{1} + 10d = 78\end{cases},\)
\(\begin{cases}d = 0 \\ a_{1} = 26\end{cases}\) или \(\begin{cases}d = a_{1} \\ a_{1} = 6\end{cases}\);
\(a_{2} = 26\), \(a_{3} = 26\) или \(a_{2} = 18\), \(a_{3} = 54\).
Ответ: \(26\); \(26\); \(26\) или \(6\); \(18\); \(54\).
