Страницы 50-51 номер 5.41, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) соответственно равны 2 см и 5 см. Точка \(K\) — середина ребра \(BC\). Найдите расстояние от точки \(C\) до центроида тетраэдра \(KBAB_1\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 2\) см
\(AA_1 = 5\) см
\(K\) — середина ребра \(BC\)
\(M\) — центроид тетраэдра \(KBAB_1\)
Найти: \(CM\).
Решение: Если \(M\) — центроид тетраэдра \(KBAB_1\), то для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{XK} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB_1})\). При \(X = C\) получаем:
\[\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{CK} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB_1}).\]
В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CC_1})\). Призма правильная, поэтому треугольник \(ABC\) равносторонний, а боковое ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), а значит, и прямым \(CA\) и \(CB\) этой плоскости. Имеем: \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(|\vec{c}| = 5\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle ACB = 60^\circ\), \(\angle(\vec{a}, \vec{c}) = \angle(\vec{b}, \vec{c}) = 90^\circ\). Отсюда:
\[\begin{aligned} \vec{a}^2 &= \vec{b}^2 = 4; \\ \vec{c}^2 &= 25; \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2; \\ \vec{a} \cdot \vec{c} &= 2 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 0; \\ \vec{b} \cdot \vec{c} &= 2 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 0. \end{aligned}\]
Точка \(K\) — середина ребра \(CB\), поэтому \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\vec{b}\). Грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}\), и по правилу треугольника \(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{b} + \vec{c}\). Тогда
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\vec{b} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\right) = {} \\ &= \frac{1}{4}\left(\vec{a} + \frac{5}{2}\vec{b} + \vec{c}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 5\vec{b} + 2\vec{c}). \end{aligned}\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому
\[\begin{aligned} &CM^2 = \overrightarrow{CM}^2 = \frac{1}{64}(2\vec{a} + 5\vec{b} + 2\vec{c})^2 = {} \\ &= \frac{1}{64}(4\vec{a}^2 + 25\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2 + 20\vec{a} \cdot \vec{b} + 8\vec{a} \cdot \vec{c} + 20\vec{b} \cdot \vec{c}) = {} \\ &= \frac{1}{64}(16 + 100 + 100 + 40 + 0 + 0) = \frac{256}{64} = 4. \end{aligned}\]
Отсюда \(CM = 2\) см.
Ответ: \(CM = 2\) см.
Сторона основания и боковое ребро правильной треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) соответственно равны 2 см и 5 см. Точка \(K\) — середина ребра \(BC\). Найдите расстояние от точки \(C\) до центроида тетраэдра \(KBAB_1\).
Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = 2\) см
\(AA_1 = 5\) см
\(K\) — середина ребра \(BC\)
\(M\) — центроид тетраэдра \(KBAB_1\)
Найти: \(CM\).
Решение: Если \(M\) — центроид тетраэдра \(KBAB_1\), то для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{XK} + \overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB_1})\). При \(X = C\) получаем:
\[\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{CK} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB_1}).\]
В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CC_1})\): модули этих векторов и попарные углы между ними известны. Призма правильная, поэтому треугольник \(ABC\) равносторонний, а боковое ребро \(CC_1\) перпендикулярно плоскости \(ABC\), а значит, и прямым \(CA\) и \(CB\) этой плоскости. Имеем: \(|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2\), \(|\vec{c}| = 5\), \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = \angle ACB = 60^\circ\), \(\angle(\vec{a}, \vec{c}) = \angle(\vec{b}, \vec{c}) = 90^\circ\). Отсюда:
\[\begin{aligned} \vec{a}^2 &= \vec{b}^2 = 4; \\ \vec{c}^2 &= 25; \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2; \\ \vec{a} \cdot \vec{c} &= 2 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 0; \\ \vec{b} \cdot \vec{c} &= 2 \cdot 5 \cdot \cos 90^\circ = 0. \end{aligned}\]
Точка \(K\) — середина ребра \(CB\), поэтому \(\overrightarrow{CK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\vec{b}\). Грань \(BB_1C_1C\) — параллелограмм, поэтому \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1}\), и по правилу треугольника \(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{b} + \vec{c}\). Тогда
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\vec{b} + \vec{b} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\right) = {} \\ &= \frac{1}{4}\left(\vec{a} + \frac{5}{2}\vec{b} + \vec{c}\right) = \frac{1}{8}(2\vec{a} + 5\vec{b} + 2\vec{c}). \end{aligned}\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому
\[\begin{aligned} &CM^2 = \overrightarrow{CM}^2 = \frac{1}{64}(2\vec{a} + 5\vec{b} + 2\vec{c})^2 = {} \\ &= \frac{1}{64}(4\vec{a}^2 + 25\vec{b}^2 + 4\vec{c}^2 + 20\vec{a} \cdot \vec{b} + 8\vec{a} \cdot \vec{c} + 20\vec{b} \cdot \vec{c}) = {} \\ &= \frac{1}{64}(16 + 100 + 100 + 40 + 0 + 0) = \frac{256}{64} = 4. \end{aligned}\]
Отсюда \(CM = 2\) см.
Ответ: \(CM = 2\) см.
