Страница 51 номер 5.43, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — тетраэдр
\(\angle ACB = 90^\circ\)
\(N\) — середина \(AB\)
\(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(ADC\)
\(K\) лежит на прямой \(CD\)
\(BM \perp KN\)
\(\angle DCA = \angle DCB = 60^\circ\)
\(CB = CD = 2\) см
\(CA = 1\) см

Найти: \(CK\).

Решение: В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{CA}; \overrightarrow{CB}; \overrightarrow{CD})\) — рёбер тетраэдра, выходящих из вершины \(C\). Известны их модули \(|\vec{a}| = 1\), \(|\vec{b}| = |\vec{c}| = 2\) и попарные углы \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle DCA = \angle DCB = 60^\circ\). Поэтому \(\vec{a}^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = \vec{c}^2 = 4\), \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 90^\circ = 0\), \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 1\), \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 2\).

Точка \(N\) — середина отрезка \(AB\), поэтому \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\). Точка \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(ADC\), поэтому для любой точки \(X\) пространства \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XD} + \overrightarrow{XC})\); при \(X = C\) получаем \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{c}\) (вектор \(\overrightarrow{CC}\) нулевой). Тогда \[\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{CM} - \overrightarrow{CB} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}.\]

Точка \(K\) лежит на прямой \(CD\), поэтому вектор \(\overrightarrow{CK}\) коллинеарен ненулевому вектору \(\overrightarrow{CD}\) и существует такое число \(x\), что \(\overrightarrow{CK} = x\overrightarrow{CD} = x\vec{c}\). Тогда \[\overrightarrow{NK} = \overrightarrow{NC} + \overrightarrow{CK} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + x\vec{c}.\]

Векторы \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{NK}\) ненулевые: точка \(M\) лежит в плоскости \(ADC\), а точка \(B\) — нет; точка \(N\) лежит в плоскости \(ABC\), а прямая \(CD\) пересекает эту плоскость только в точке \(C\), отличной от \(N\). Прямые \(BM\) и \(KN\) перпендикулярны, поэтому \(\overrightarrow{NK} \perp \overrightarrow{BM}\), а скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю. Найдём его: \[\begin{aligned} &\overrightarrow{NK} \cdot \overrightarrow{BM} = \left(-\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} + x\vec{c}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}\right) = {} \\ &= -\frac{1}{6}\vec{a}^2 + \frac{1}{3}\vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{1}{6}\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1}{2}\vec{b}^2 - \frac{1}{6}\vec{b} \cdot \vec{c} + {} \\ &+ x\left(\frac{1}{3}\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} + \frac{1}{3}\vec{c}^2\right) = {} \\ &= -\frac{1}{6} - \frac{1}{6} + 2 - \frac{1}{3} + x\left(\frac{1}{3} - 2 + \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{x}{3}. \end{aligned}\]

Из равенства \(\frac{4}{3} - \frac{x}{3} = 0\) получаем \(x = 4\). Значит, \(\overrightarrow{CK} = 4\overrightarrow{CD}\): точка \(K\) лежит на продолжении ребра \(CD\) за точку \(D\), и \(CK = 4 \cdot CD = 8\) (см).

Ответ: \(CK = 8\) см.