Страница 50 номер 5.38, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Отложим от вершины \(S\) на рёбрах \(SA\), \(SB\) и \(SC\) единичные векторы \(\overrightarrow{SA_1} = \vec{e}_1\), \(\overrightarrow{SB_1} = \vec{e}_2\) и \(\overrightarrow{SC_1} = \vec{e}_3\). Векторы отложены от одной точки, поэтому \(\angle(\vec{e}_1, \vec{e}_2) = \angle ASB\) и \(\angle(\vec{e}_3, \vec{e}_2) = \angle BSC\).

Рёбра \(SA\) и \(SC\) трёхгранного угла не лежат на одной прямой, поэтому векторы \(\vec{e}_1\) и \(\vec{e}_3\) неколлинеарны. Достроим треугольник \(A_1SC_1\) до параллелограмма \(SA_1EC_1\). Его соседние стороны \(SA_1\) и \(SC_1\) равны 1, поэтому \(SA_1EC_1\) — ромб, и по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{SE} = \vec{e}_1 + \vec{e}_3\). Диагональ ромба является биссектрисой его угла, поэтому луч \(SE\) — биссектриса угла \(A_1SC_1\), то есть плоского угла \(ASC\).

Пусть \(\angle ASB = \alpha\); по условию \(\angle BSC = 180^\circ - \alpha\). Тогда

\[\begin{aligned} &\overrightarrow{SE} \cdot \vec{e}_2 = (\vec{e}_1 + \vec{e}_3) \cdot \vec{e}_2 = \vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 + \vec{e}_3 \cdot \vec{e}_2 = {} \\ &= 1 \cdot 1 \cdot \cos \alpha + 1 \cdot 1 \cdot \cos (180^\circ - \alpha) = \cos \alpha - \cos \alpha = 0. \end{aligned}\]

Векторы \(\overrightarrow{SE}\) и \(\vec{e}_2\) ненулевые (\(\overrightarrow{SE}\) — диагональ ромба, \(|\vec{e}_2| = 1\)), а скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между лучом \(SE\) и лучом \(SB\), на котором лежит вектор \(\vec{e}_2\), равен \(90^\circ\), то есть ребро \(SB\) перпендикулярно биссектрисе \(SE\) плоского угла \(ASC\).

Ответ: ребро \(SB\) перпендикулярно биссектрисе плоского угла \(ASC\).